MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
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Quand un quadrilatère est circonscrit à une conique , le produit 
des distances d'un foyer à deux sommets opposés, est au produit 
des distances du même foyer aux deux autres sommets, dans une 
raison qui reste la même, quel que soit celui des deux foyers quion 
a pris \ 
(142) Quatrième application. Soit le théorème de Cotes sur la 
division du cercle en parties égales. Donnons-lui, pour en faciliter 
la transformation, cet énoncé : a Un polygone régulier de 2m côtés 
» étant circonscrit à un cercle, si d’un point 0, pris sur la droite 
» indéfinie menée par le centre du cercle et par le point de contact 
» du premier côté du polygone, on mène des droites aux points de 
» contact de tous les autres côtés; 
» 1° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés 
» de rang impair sera égal à OC— R m ; 
» 2° Le produit des droites menées aux points de contact des côtés 
)) de rang pair sera égal à OC “— R'" ; 
» R étant le rayon du cercle, et le point C son centre. » 
Faisons la transformation. Au cercle correspondra une conique 
ayant son foyer en 0 (131); aux côtés du polygone correspondront 
des points de la courbe, situés sur des rayons qui diviseront l’espace 
angulaire autour de ce foyer en 2m parties égales; aux points de 
contact des côtés du polygone, correspondront les tangentes à la co¬ 
nique menees par les points pris sur elle. Ces tangentes se construi¬ 
ront comme nous l’avons dit (128). On obtiendra ainsi un théorème, 
1 Si l’un des foyers est à l’infini, cette raison sera égale à l’unité, d’où il suit que : 
Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole, le produit des distances du foyer de 
la courbe à deux sommets opposés du quadrilatère , est égal au produit des distances de ce foyer 
aux deux autres sommets. 
Si l’on suppose que les deux premiers sommets du quadrilatère soient deux points de la 
courbe, les deux autres sommets se confondront avec le point de concours des tangentes en ces 
deux points ; et il en résultera ce théorème : 
Quand un angle est circonscrit a une parabole, le produit des distances des points de contact 
de ses deux cotés au foyer de la courbe , est égal au carré de la distance de son sommet à ce foyer. 
Ce théorème est un de ceux dont Lambert s’est servi dans ses Insigniores orbitœ cometarum 
proprietates. (Section 1 10 . lemme 8.) 
