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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
(148) Le mode de construction des figures corrélatives que nous a 
fourni le déplacement infiniment petit d’un corps solide, peut être 
présenté d’une autre manière, où n’entre pas l’idée de mouvement. 
Yoici comment : 
manière quelconque dans Vespace ; 
Soit une 
concevons que par tous les points d’une figure proposée passent des 
hélices de la vis; 
1° Les plans normaux à ces hélices, menés par les points de la 
figure, envelopperont une seconde figure qui sera corrélative de la 
première ; 
2° Le segment compris sur l’axe de lavis , entre deux plans nor¬ 
maux , sera projection orthogonale de la droite qui joint 
les deux points correspondons. 
2° Le segment compris sur l’axe de lavis , entre deux plans nor- 
De sorte que les relations métriques de la première figure seront 
faciles à transporter dans la seconde. 
(149) Il résulte de là que si l’on coupe la surface d'une vis (à 
les coordonnées du même point considéré après le déplacement; ces coordonnées ont des 
valeurs de la forme 
• L. (Læ+Mi/+Nz), 
X’ — l -4- X 1/ 1 
y’=m-t-y\é 1 — (L 2 -+-M 2 -i-N 3 ) -t-(N#—Lz)-t- 
i _ vT — (L’+ar+iN 3 ) 
• N. ; 
2 '=# + j |/ 1 — (L 2 +M 2 + N 2 ) -+- (Ly—M#) + 
L 2 +M :i +N 2 
où l, m, n, L, M, N, sont six coefïïciens indépendans. 
Ces formules sont la généralisation de celles d’Euler, qui ne convenaient qu’à un dé¬ 
placement infiniment petit du corps solide. 
Elles peuvent servir aussi pour la transformation d’un système de coordonnées rectan¬ 
gulaires en un autre système de coordonnées rectangulaires. Et sous ce rapport elles satisfont 
à une question qui a occupé dans un temps les géomètres, savoir, de trouver de telles formules 
qui ne contiennent que les trois coefficiens indépendans nécessaires et suflisans pour exprimer 
la position des nouveaux axes, et où ces coefficiens entrent d’une manière symétrique. 
Les formules de Monge qui ont résolu cette question (Mémoires de l’académie de Turin; 
ann. 1784 et 1785) ont l’inconvénient de contenir six expressions radicales différentes. Les 
formules précédentes n’en contiennent qu’une. 
