MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 683 
\eloppe la surface A, pendant que son point directeur parcourt la 
surface A'. 
Or on voit que, pour former cette équation, il faut changer, dans 
1 équation du premier plan mobile, les coordonnées courantes en 
celles du second point directeur, et celles du premier point direc¬ 
teur en coordonnées courantes. On peut donc énoncer ce théorème 
général : 
Quand l équation d un plan mobile contient au premier degré 
les coordonnées x', y', z' d'un point directeur, si on y change les 
coordonnées courantes x, y, z, en x', y', z', et vice versa, on aura 
une seconde équation qui représentera un second plan mobile , 
correspondant au même point directeur ; 
Si le point directeur parcourt une surface A, le premier plan 
mobile enveloppera une surface A' ; 
Et si le point directeur parcourt la surface A', le second plan 
mobile enveloppera la première surface A. 
Ainsi les deux surfaces jouissent de la propriété réciproque d’être 
engendrées l’une au moyen de l’autre, mais par deux plans mobiles 
differentes, c est-à-dire dont les équations sont différentes. 
(154) D’après cela, on voit sur-le-champ que si l’on veut que le 
plan mobile ait la même équation, ou la même construction géo¬ 
métrique, pour les deux surfaces, comme cela a lieu dans la théorie 
des polaires réciproques et dans les autres systèmes qui reposent soit 
sur le déplacement d’un corps solide, soit sur la considération d’un 
système de forces, il faut que l’équation du plan mobile soit symé¬ 
trique par rapport aux coordonnées courantes et à celles du point 
directeur ; car alors elle restera la même quand on y changera x , 
y, z, en x', y', z' et vice versé, et les deux plans mobiles du 
théorème précédent auront la même équation. 
Cela a lieu dans la théorie des polaires j l’équation du plan polaire 
d un point reste la même quand on y met les coordonnées de ce 
point à la place des coordonnées courantes, et vice versé. Il en 
est de même pour le plan normal à la trajectoire d’un point d’une 
