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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
il suffit donc, pour démontrer l’équation (1), de prouver que l’on a 
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Or, le point a étant le pôle du plan A, les deux points a et « sont 
conjugués harmoniques par rapport aux deux points où la droite L 
rencontre la surface. Pareillement les deux points b, S, sont conju¬ 
gués harmoniques par rapport aux deux mêmes points • il en est de 
même de deux points c, y, et des deux points d, donc trois quel¬ 
conques de ces quatre systèmes de deux points forment une involution 
(Note X, art. 12 bis, p. 555 ); et par suite les huit points ont entre 
eux la relation que nous voulions démontrer (même Note, art. 9). 
(158) Maintenant, pour faire l’application que nous nous propo¬ 
sons de la formule (1), mettons-la sous la forme 
ac sin. A,C ad sin. A.D 
—- • ■ . ___ • . 
hc ‘ sin. B,C bd ' sin. B,D 
Le second membre est constant, quels que soient le point c et son 
plan polaire C. Que dans le plan C on prenne un point m; son plan 
polaire M passera par le pôle c du plan C. Le rapport des distances 
du point m aux deux plans A, B, sera égal à g’ c ; le rapport des 
distances du plan M aux deux points a, b, sera égal à et, d’a¬ 
près l’équation ci-dessus, ces deux rapports seront entre eux dans 
une raison constante. 
On a donc cette propriété générale des surfaces du second degré : 
Étant pris dans l’espace deux points fixes a, b, et leurs plans 
polaires A, B, par rapport à une surface du second deqrè ; si l’on 
mène un plan transversal quelconque , le rapport de ses distances 
aux deux points a, b, sera au rapport des distances du pôle de ce 
plan aux deux plans A, B, dans une raison constante quel que 
soit le plan transversal. 
(159) Si le plan transversal est tangent à la surface, son pôle sera 
son point de contact, on en conclut que : 
