MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
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droite diamétrale , et il rien existe qu’une, qui a même plan conju¬ 
gué dans les deux surfaces. 
(263) On conclut de là que si l’une des deux surfaces est un el¬ 
lipsoïde, le système des trois diamètres conjugués communs existe 
toujours; parce que la courbe d’intersection des deux surfaces ne peut 
avoir aucune asymptote. 
Mais si les deux surfaces sont des hyperboloïdes, elles ri ont plus 
nécessairement un système de trois diamètres conjugués communs, 
ainsi qu’on l’avait supposé d’après l’énoncé, trop absolu, du théorème 
de Monge. ( Correspondance sur l’école polytechnique, t. 2, p. 319.) 
(264) Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan trans¬ 
versal, et considérons les deux droites L, L'. Tout plan mené par 
l’une d’elles coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont 
cette droite pour axe de symptose. 
Faisons la figure homographique de manière que le plan transversal 
passe à l’infini, les plans menés par l’une des deux droites L, L', de¬ 
viendront des plans parallèles ; et les deux coniques suivant lesquelles 
chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symp¬ 
tose à l’infini, ce qui prouve qu’elles seront semblables et semblable¬ 
ment placées. On a donc ce théorème : 
Étant données deux surfaces du second degré quelconques, pla¬ 
cées arbitrairement l’une par rapport à Vautre, il existe toujours 
deux séries de plans parallèles, dont chacun coupe les deux sur¬ 
faces suivant deux coniques semblables entre elles et semblablement 
placées. 
Si l’une des surfaces est une sphère on en conclut le théorème sui¬ 
vant , que Monge et Hachette ont démontré analytiquement, et dont 
M. Poncelet a donné une démonstration purement géométrique dans 
son Traité des propriétés projectives , p. 299 : 
Dans toute surface du second degré, il existe deux séries de 
plans parallèles qui la coupent suivant des cercles. 
(265) Remarquons que les deux droites L, L', se coupent au point 
A qui devient, dans la figure homographique, l’extrémité, à l’infini, 
