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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
rème général démontré dans le § VIII de nos applications du prin¬ 
cipe de Dualité '. 
1 Généralement deux surfaces du second degré inscrites dans un cône se coupent suivant 
deux courbes planes (réelles ou imaginaires). Ce théorème est connu; mais il me semble qu’on 
l’énonce d’une manière trop absolue ; car on suppose que, dans le cas même où les deux courbes 
sont imaginaires, leurs plans sont toujours réels. 
Cela n’est pas ; car ces plans peuvent être imaginaires, comme il arrive dans toutes les ques¬ 
tions où les choses qu’on considère sont doubles, ou admettent deux solutions. 
Pour en donner un exemple , qu’on conçoive une section elliptique faite dans un hyperbo- 
loïde à une nappe , et un cône circonscrit à celte surface suivant cette section; qu’on fasse dans 
le cône une seconde section elliptique qui rencontre la première en deux points, et qu’on ins¬ 
crive dans le cône un ellipsoïde qui le touche suivant cette seconde section. Cet ellipsoïde et l’hy- 
perboloïde devront se couper suivant deux courbes planes , réelles ou imaginaires. Dans ce cas 
ces deux courbes sont imaginaires ; car l’ellipsoïde est renfermé dans l’intérieur du cône, et l’hy- 
perboloïde est tout-à-fait en dehors. Mais de plus, leurs plans sont aussi imaginaires; car ils 
doivent passer par les deux points d’intersection des deux courbes de contact du cône et des 
deux surfaces ; et si ces plans étaient réels, chacun d’eux couperait réellement les deux surfaces. 
Ce qui n’est pas possible puisqu’elles n’ont point de courbe d’intersection réelle. 
Ainsi, dans ce cas , il est démontré que les deux plans sont imaginaires ; il n’y a de réel que 
leur droite d’intersection. 
L’analyse conduit aux mêmes conclusions. Car soit F = o l’équation d’un cône, ou plus géné¬ 
ralement d’une surface quelconque du second degré ; l’équation d’une seconde surface du second 
degré inscrite dans cette première, sera de la forme 
F -+- viV 2 =0, 
P = 0 étant l’équation du plan de la courbe de contact des deux surfaces. 
Pareillement l’équation d’une troisième surface inscrite aussi dans la première sera 
F -+- WP' 2 = o, 
P' — o étant l’équation du plan de la courbe de contact. 
Des équations de ces deux surfaces inscrites dans la première, on tire 
mP 1 — WP' 2 = o. 
D’où 
— o. 
Cette d’ouble équation représente les deux plans sur lesquels se coupent les deux surfaces. 
Mais on voit que ces plans ne seront réels que quand les deux coefficiens m et W seront de 
mêmes signes ; et qu’ils seront imaginaires quand ces deux coefficiens seront de signes contrai¬ 
res. Et dans ce cas l’équation donne les deux suivantes 
P = o, P' = o. 
Ce qui prouve que les deux surfaces n’ont point d’autres points d’intersection que sur la 
droite même sur laquelle se coupent les deux courbes de contact. Les deux points d’intersection 
peuvent être imaginaires; mais cette droite est toujours réelle, parce qu’elle est l’intersection 
des plans des deux courbes de contact. 
