MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
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(325) Ces deux théorèmes sont la source d’un grand nombre de 
propriétés des surfaces du second degré de révolution, considérées 
par rapport à leurs foyers. Quelques-unes do ces propriétés, celles 
particulièrement qui ne concernent que les relations descriptives des 
surfaces, sont connues; mais beaucoup d’autres, où entre la considé¬ 
ration des relations métriques, seront entièrement nouvelles. Nous 
exposerons celles-ci dans un paragraphe particulier (§ XXI). 
(32G) Reprenons les deux surfaces homologiqucs A, A', dont la 
seconde a son centre de figure au centre d’homologie. 
Considérons dans la surface A' trois diamètres conjugués; leur pro¬ 
priété caractéristique est que le point situé à l’infini sur chacun d’eux 
a pour plan polaire, par rapport à la surface, le plan des deux autres. 
Les trois droites homologues, dans la surface A, jouiront donc de la 
propriété que le point où chacune d’elles perce le plan fixe (qui est 
le plan polaire du point S), a pour plan polaire le plan des deux 
autres. D’où il suit que chacune de ces trois droites a sa polaire com¬ 
prise dans le plan des deux autres. Ces trois droites sont donc ce que 
nous avons appelé axes conjugues relatifs au point S. Or ces trois 
droites sont, en direction, les trois diamètres conjugués de la surface 
A'; donc 
Chaque système de trois axes conjugués d’une surface du second 
degré, relatifs à un point fixe , forme , en direction , un système de 
trois diamètres conjugués dune seconde surface du second degré, 
qui a son centre en ce point ; 
diculaires abaissées tics points a, a', a", sur les plans P, P', P", respectivement. On aura 
Sa ap Sa ap 
Sa' a'p' ’ ' Sa" ^ a"p" 
D’où 
Sa' fi a'p' 
Sa" == A a”p" ' 
Celte équation prouve que le point a" appartient à une figure hoinologique ù celle à laquelle 
appartient le point a' (306). Les plans P', P" se correspondent, dans ces deux figures; et le 
point S est leur centre d’homologie. 
Ainsi le théorème est démontré. 
