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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
§ XX. Propriétés générales, nouvelles, des surfaces du second degré. 
(337) Les propriétés générales des surfaces géométriques, démon¬ 
trées dans le § XVÏII, s’appliquent aux surfaces et aux courbes du 
second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires où se trou¬ 
vent plusieurs propriétés nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. 
On y distinguera particulièrement certaines propriétés concernant 
leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous 
allons présenter d’abord des propositions d’une plus grande généralité. 
Supposons dans le théorème (312) que les deux surfaces soient du 
second degré; par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener 
deux plans tangens à la première surface; la corde qui joindra les 
deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de 
ce plan par rapport à cette surface; nous pouvons donc énoncer ce 
théorème : 
Quand deux surfaces du second degré ont un centre d’homologie, 
si autour d’un point fixe on fait tourner une corde de la première 
surface, les rapports des distances des extrémités de cette corde au 
centre d’homologie et au plan polaire du point fixe, divisé respecti¬ 
vement par les rapports des distances des deux points homologues 
dans la seconde surface, au même centre dihomologie et à un plan 
fixe mené arbitrairement, auront leur somme ou leur différence 
constante. 
Ce sera la somme, si le point fixe et pris dans l’intérieur de la sur¬ 
face, et la différence, s’il est pris au dehors. 
Ainsi soient a, h, les extrémités de la corde de la première surface; 
a', h', les points homologues de la seconde; ap, hp, les perpendicu¬ 
laires abaissées des points a, h sur le plan polaire du point fixe, pris 
par rapport à la première surface ; et a'n , b'it, les perpendiculaires abais¬ 
sées des points a', b', sur un plan fixe n mené arbitrairement ; on aura 
Sa S«' S b S b' 
— : — ± — : — — const. 
ap an bp b n 
