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MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
prendre arbitrairement un point d' pour correspondre à un point d 
de la sphère, en observant cette seule condition que les droites O d, 
O 'd 'se rencontrent sur le plan P'. Ainsi, pour un point O' et un plan 
P' déterminés, on pourra former une infinité de surfaces de révolution 
homographiques à la sphère; et les propriétés de la sphère produiront 
des propriétés de ces surfaces. 
Nous pouvons faire en sorte que l’une de ces surfaces ait son centre 
au point O qui est le centre de la sphère. 
En effet, prenons le point d de la sphère sur la droit 00'; le point 
correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite 00'; et ce 
point d 'peut être pris arbitrairement sur cette droite. Cherchons en 
quel lieu il doit être placé pour que la surface ait son centre au point O. 
Remarquons que le point O' correspond au point O de la première 
figure, et le plan P' correspond au plan à l’infini de cette première 
figure. Ce plan à l’infini est le plan polaire du point O par rapport à 
la sphère ; le plan P' est donc le plan polaire du point 0' par rapport 
à la surface de révolution. Donc, si le point O est le centre de cette 
surface, on aura Od r = 00'. Ocf. 
Il faut donc prendre le point d ' de manière que l’on ait cette égalité; 
et alors la surface aura son centre au point 0. 
Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un 
point donné m de la sphère, on mènera par le point m les deux droites 
mO, md , dont les correspondantes passeront par les points 0' et d' 
respectivement. La première passera par le point où la droite 0 m 
perce le plan P', et la seconde passera par le point où une parallèle 
à la droite md, menée par le point 0, perce ce plan P'. Ainsi le point 
m' sera déterminé. 
Si la droite 0 m est parallèle au plan P', la droite O'm' sera paral¬ 
lèle à 0 m. On trouve aisément, par une comparaison de triangles 
semblables, que O'm' = Oc/'. De sorte que, une corde de la surface, 
menée par le point 0', perpendiculairement à l’axe de révolution, est 
égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre 
est le plus petit de la surface ; car s’il était le plus grand, on ne pour- 
