MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 
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Et doux faisceaux de plans sont homo graphique s quand le rapport 
Enharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est 
égal au rapport Enharmonique des quatre plans correspondais du se¬ 
cond faisceau. 
(429) Les deux propriétés générales du système de deux figures 
homographiques que nous allons démontrer sont les suivantes : 
Première proposition. — Quand deux droites, placées d'une ma¬ 
nière quelconque dans l'espace, sont divisées homographiquement, 
les droites qui joignent deux à deux les points de division corres¬ 
pondons , forment un hyperboloïde à une nappe. 
En eflet quatre points de division a, h, c, d, de la première droite, 
ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points cor¬ 
respondais a', b', c', d', de la seconde droite. Il s’ensuit (ainsi que 
nous l’avons démontré dans notre Note IX, page 306) que, une droite 
quelconque qui s’appuiera sur trois des quatre droites aa ', bb', ce', 
dd', s’appuiera nécessairement sur la quatrième; d’où il suit que ces 
quatre droites appartiennent à un hyperboloïde à une nappe. 
(430) Deuxième proposition. — Quand on a dans 1 espace deux 
faisceaux de plans homographiques, les droites suivant lesquelles 
se coupent, deux à deux les plans correspondons , forment un hy¬ 
perboloïde à, une nappe. 
Cette proposition résulte directement de la précédente; car soient 
L, L', les axes des deux faisceaux; A, B, C, D, .... les plans du pre¬ 
mier faisceau, et À', IV, C', IV, .... les plans correspondons du se¬ 
cond ; les plans A, B, C, 1), .... rencontreront la droite L' en des 
points a, h, c, d, .; et les plans A', IV, C', IV,. rencontreront 
la droite L en des points a', b', c', d' .Les quatre points a, b, c, 
d, ont leur rapport anharmonique égal A celui des quatre plans A, B, 
C, D; les quatre points a,', //, c', dj ont leur rapport anharmonique 
égal A celui des quatre plans A', IV, C', D'. Mais par hypothèse le 
rapport anharmonique de ces quatre plans est égal A celui des quatre 
plans correspondans A, B, C, D. Donc le rapport anharmonique des 
qua trepoints a, b, c, d, est égal A celui des quatre points a', b ', c', d’. 
