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MÉMOIRES. 
V 
est la généralisation de celui des congruences de normales regar¬ 
dées comme étant engendrées par les tangentes d’une famille 
de lignes géodésiques appartenant à une surface arbitraire. 
2 . L’existence des congruences isogonales se déduit de leur 
équation caractéristique qui est, en désignant par k la tangente 
de l’angle constant des plans focaux, 
k\k + G) 2 = B 2 — 4AC, 
en supposant que l’équation du second degré faisant connaître 
la tangente de l’angle 0 que fait l’un des plans focaux d’une 
droite quelconque de la congruence avec un plan fixe passant 
par cette droite, soit de la forme 
A tang 2 0 -f B tang 6 G zz 0. 
Dans cette dernière équation, A, B, G, sont des expressions 
où interviennent, avec les éléments de la surface des points de 
laquelle sont issues les droites de la congruence, les para¬ 
mètres, au nombre de deux, qui déterminent la position de 
chacune d’elles. Puisqu’il n’y a qu’une relation entre ces para¬ 
mètres, il s’ensuit qu’il existe une infinité de congruences iso¬ 
gonales dont les droites émanent des points d’une surface quel¬ 
conque. 
On voit de même qu’on peut prendre arbitrairement, soit la 
surface moyenne, soit l’enveloppée moyenne d’une pareille con¬ 
gruence, puisqu’à l’équation caractéristique écrite ci-dessus, il 
suffira d’adjoindre celle qui est relative au choix de la surface 
de référence. 
Ges considérations générales, suffisantes au point de vue ana¬ 
lytique, ne conduisent pas aisément aux interprétations géomé¬ 
triques. La marche qui m’a paru la plus avantageuse pour 
atteindre le double but que je me suis proposé repose sur l’em¬ 
ploi de la surface focale. C’est celle que je vais maintenant 
exposer. 
3 . On obtient, comme on sait, la congruence de droites la 
plus générale en prenant, à volonté, une surface (O) pour l’une 
