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MÉMOIRES. 
4 . Ces notions étant rappelées, il est facile, en se donnant 
Fane des nappes (O) de la surface focale, de définir géométri¬ 
quement la congruence isogonale la plus générale. D’après la 
définition donnée, en dernier lieu, pour les plans focaux, on 
voit que les lignes (v) tracées sur (O) doivent être telles qu’en 
chacun de leurs points le plan osculateur coupe (O) sous un 
angle constant qui soit le même pour toutes ces courbes. On 
peut donc énoncer la proposition suivante qui fait connaître le 
mode de génération annoncé dès le début : 
La congruence isogonale la plus générale est formée par 
les tangentes d’une famillê de courbes tracées sur une sur¬ 
face arbitraire et assujetties à cette seule condition, qu'en 
chaque point , leur plan osculateur fasse le même angle avec 
le plan tangent à la surface au point considéré. Cet angle 
constant est égal à celui des plans focaux. 
La surface choisie (O) est l’une des nappes de la congruence 
ainsi engendrée. La seconde nappe (O,) est, d’après ce qui a été 
dit ci-dessus, le lieu des arêtes de rebroussement (t?,) des déve¬ 
loppables circonscrites à (O) suivant les lignes (v r ) conjuguées 
des lignes (v). Puisque la congruence est isogonale, les lignes 
(vf) analogues, sur (O,), aux lignes (v) de (O) sont telles, qu’en 
chacun de leurs points, le plan osculateur coupe (O t ) sous un 
angle constant égal à celui des plans focaux. 
D’autre part, ces plans focaux étant aussi les plans tangents 
des deux surfaces aux points où elles sont touchées par une 
droite D, il s’ensuit que les deux nappes (O) et (OJ de la sur¬ 
face focale d’une congruence isogonale se correspondent de 
telle manière, qu’aux points correspondants, leurs plans tan¬ 
gents font entr’eux un angle constant égal à celui des plans 
focaux de la congruence proposée. Envisagée dans toute sa 
généralité, la réciproque n’est pas exacte ; pour qu’elle le soit, 
on doit ajouter évidemment cette condition que les droites joi¬ 
gnant les points correspondants des deux surfaces touchent ces 
surfaces dans les points considérés. 
5 . Il reste toutefois à établir, pour une surface quelconque, 
l’existence des lignes caractérisées par cette propriété, qu’en 
