DES CONGRUENCES ISOGONALES DE DROITES. 21 
chacun de leurs points, leur plan oscillateur coupe, sous un 
angle constant donné, le plan tangent à la surface au même 
point et à montrer qu’on peut les classer en familles. Cette ques¬ 
tion, dont un cas particulier, celui où l’angle donné est droit, 
conduit au problème des lignes géodésiques, est entièrement 
résolue par les formules que l’on trouve dans le grand ouvrage 
de M. Darboux \ 
La surface (O) étant rapportée à un réseau orthogonal quel¬ 
conque (u, v) et au trièdre mobile T, on trouve immédiate¬ 
ment que l’équation différentielle des lignes cherchées est la 
suivante : 
li\(7'du + r v dv)( 1 + m 2 ) + dm ] 2 
zz (1 + m 2 ) \{qdu + q { dv) — m{rdu -f- 7\dv)] 2 , 
après avoir posé, pour abréger, 
C dv 
m — T . , 
A du 
et désigné par li la tangente de l’angle constant donné. 
Quelle que soit la variable indépendante adoptée (u ou v ), on 
est conduit à une équation différentielle du second ordre dont 
l’intégration fournira v, par exemple, en fonction de l’autre 
variable u et de deux constantes arbitraires c et c' distinctes 
de li. Si l’on suppose fixée la valeur de h, toute relation entre 
c et c' fournira une famille de lignes répondant à la question 
et de laquelle on déduira une congruence isogonale formée par 
les tangentes de ces lignes. 
Les lignes géodésiques correspondent à une valeur infinie 
de h, et la congruence isogonale déduite d’une famille de ces 
lignes est celle des normales à une série de surfaces parallèles. 
Enfin, à une valeur nulle deA correspondent les lignes asymp¬ 
totiques. Les tangentes aux lignes asymptotiques d’un système 
forment une congruence dont les deux séries de points et de 
plans focaux sont confondus. 
* Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. II, p. 385. 
