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MÉMOIRES. 
6 . La solution se simplifie dans le cas, que nous allons 
maintenant examiner, où Tune des familles de développables 
principales de la congruence isogonale est formée de plans. 
D’une manière générale, lorsque, pour une famille, les déve¬ 
loppables principales d’une congruence sont des plans, auquel 
cas les lignes (v) de la nappe (O) de la surface focale qui reçoit 
leurs arêtes de rebroussement sont pareillement des courbes 
planes, la seconde nappe (Oi) de cette surface focale est mani¬ 
festement la développable enveloppe des plans des lignes (v). 
Réciproquement, lorsqu’une des nappes (Oi) de la surface 
focale d’une congruence est une développable, l’une des familles 
des développables principales de cette congruence est formée 
par les plans tangents de la développable proposée. 
Appliquons ces remarques au cas où la congruence est, en 
outre, isogonale. Sur la nappe (O), les lignes ( v ) ont leurs plans 
osculateurs également inclinés sur les plans tangents corres¬ 
pondants de (O), et, puisqu’elles sont planes, elles forment un 
système de lignes de courbure planes de (O) ayant, pour repré¬ 
sentation sphérique, une famille de cercles égaux. Les lignes 
(V), qui leur sont conjuguées par rapport à (O), forment le 
second système des lignes de courbure de cette surface. La 
réciproque étant non moins évidente, on voit que : 
La congruence isogonale la plus générale dont les déve¬ 
loppables principales d’une famille sont des plans est en¬ 
gendrée par les tangentes aux lignes de courbure d'un sys¬ 
tème appartenant ci une surface telle que la représentation 
sphérique de ces lignes .soit formée de cercles égaux. 
La seconde nappe (Oj) de la surface focale de cqtte congruence 
est la développable enveloppe des plans des lignes de courbure 
planes de (O), et, sur cette nappe (O!), les lignes (v t ), arêtes de 
rebroussement des développables circonscrites à (O) suivant 
les lignes de courbure du second système, possèdent la pro¬ 
priété, qu’en chacun de leurs points, leur plan oscillateur fait, 
avec le plan tangent de la développable, un angle constant égal 
à celui des plans focaux de la congruence isogonale considérée. 
On voit, sans difficulté, que la développable (O t ) est le lieu 
des centres de courbure géodésique des lignes (v) de (O). 
