DES CONGRUENCES ISOGONALES DE DROITES. 23 
On sait construire les surfaces (O) dont la représentation 
sphérique des lignes de courbure est formée, pour un système, 
de cercles égaux. Au point de vue analytique, cette construc¬ 
tion est ramenée à l’intégration d’une équation de Riccati. Il 
sera donc facile de déduire de ces surfaces les congruences iso- 
gonales particulières que l’on vient de définir. La plus simple 
de ces surfaces est la sphère. On obtient, par suite, la con¬ 
gruence isogonale la plus générale dont une des nappes de la 
surface focale est sphérique, au moyen des tangentes à des cer¬ 
cles égaux tracés sur une sphère et dont la position dépend 
d’un paramètre. 
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7 . Mais on peut procéder autrement, en partant de la seconde 
nappe (O!) de la surface focale, qui est une développable, 
d’après ce qui a été dit ci-dessus. 
La congruence cherchée est formée par les tangentes à une 
famille de lignes (v t ) d’une développable arbitraire telles, qu’en 
chacun de leurs points, leur plan osculateur soit incliné d’un 
même angle, d’ailleurs quelconque, sur le plan tangent de la 
développable au même point. Il résulte des propriétés démon¬ 
trées ci-dessus que, dans chacun des plans tangents de la déve¬ 
loppable choisie (0 4 ), les tangentes des courbes (ü,) aux points 
où elles rencontrent la génératrice de contact de ce plan tan¬ 
gent ont, pour enveloppe, une ligne (v) de l’autre nappe (O) de 
la surface focale de la congruence, que cette ligne (v) est une 
ligne de courbure de (O), et que la représentation sphérique 
des lignes (v) est formée de cercles égaux. Enfin, les lignes de 
seconde courbure de (O) réunissent les points de contact de 
cette surface et des tangentes à chacune des lignes (v t ) de (O,). 
La construction des surfaces (O) dont les lignes de courbuie 
d’un système ont, pour représentation sphérique, une famille 
de cercles égaux, est ainsi ramenée à celle des courbes (u,) 
d’une développable dont les plans osculateurs sont inclinés, 
d’un angle donné quelconque, sur les plans tangents correspon¬ 
dants de la surface. Toute famille de lignes (v t ) donnera une 
surface (O). 
Pour la détermination analytique de ces lignes (u*), on pourra 
