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TRANSFORMATION DES VARIABLES 
1° Le dénominateur de la valeur de x 3 , par exemple, renferme tou¬ 
tes les combinaisons trois à trois des coefficients, chaque combinaison 
ne contenant ni deux fois la même lettre, ni deux fois le même indice; 
2° Deux termes qui, dans l’expression de ce dénominateur, peu¬ 
vent se déduire l’un de l’autre par une permutation tournante, ont 
même signe ; 
3° Deux termes qui ne diffèrent que par le changement d’une lettre 
en une autre, et réciproquement, sont de signes contraires; 
4° Par suite, le dénominateur est le même pour toutes les incon¬ 
nues , pourvu que l’on prenne convenablement le signe du numérateur. 
6 . Supposons donc que pareille vérification ait été faite pour n — ! 
équations entre n —1 inconnues, je dis qu’elle se fera encore dans le 
cas de n équations. 
En effet, soit, pour fixer les idées, n= 7; l’un des termes de D x sera 
a 4 b 3 c 5 o ? 7 e 2 /g, et l’un des termes de D 4 sera a x b 3 c 5 d 1 e 2 f. Je dis de 
plus que ces deux termes sont de signes contraires. 
Pour justifier cette assertion, qui est la base de toute ma démons¬ 
tration, j’observe que 
1 ° le terme a 4 b 3 c 5 d 1 e 2 /j de Dj, a le même signe que a 1 b 6 d 3 
e 5 fi, lequel entre dans D 4 , et se déduit du précédent par une permu¬ 
tation tournante entre les indices; 
2° Les deux termes a 1 b 6 c 1 d 3 e 5 f 2 et e 7 f a, b 3 c 5 d 2 qui entrent 
dansD 4 , et qui se déduisent l’un de l’autre par une permutation tour¬ 
nante entre les lettres, ont même signe; 
3° Les deux termes a 1 b 3 c 5 d 1 e 2 f et e 1 f a, b 3 c 5 d 2 de D 4 , qui 
ne diffèrent que par le changement de rf en e, et vice versa, sont 
de signes contraires. 
7. Il résulte de cette discussion que la fonction a x Dj-i-a 2 D 2 -f-....-t-^D„ 
est composée de termes qui sont, deux à deux, égaux et de signes 
contraires; donc elle est identiquement nulle. La même chose a lieu 
pour les autres fonctions (5). Par suite, la formule ( 6 ) et les remar¬ 
ques du n° 5 ont lieu pour le cas de n équations. Donc, etc. 
M. Cauchy a donné, de la règle qui sert à former le dénominateur 
