DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 
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Or, pourvu que l’on remplace s £ par du i} et y r par dx t ,, les pre¬ 
miers membres des équations (19) représentent les différentielles com¬ 
plètes, par rapport aux anciennes variables, des fonctions <p,, f 2 , .... <p n ; 
tandis que les premiers membres des équations (20) sont les différen¬ 
tielles complètes de ces mêmes fonctions, par rapport aux nouvelles 
variables Donc : 
« Différenciez chacune des équations fi = 0, <j> 2 = 0, — 
» en regardant comme indépendantes toutes les variables. Égalez à 
» zéro, ou à une constante, la partie qui dépend des anciennes diffé- 
» rentielles, et à zéro ou à une constante, la partie relative aux 
» nouvelles différentielles. Yous aurez de la sorte deux groupes de n 
» équations chacun : dans le premier groupe entreront comme incon- 
» nues les différentielles des variables primitives, et dans le second 
» les différentielles des nouvelles variables. Si vous désignez par X 
» le dénominateur pour le premier groupe, et par U le dénomina- 
» teur pour le second, vous aurez, pour la formule de transformation 
)) cherchée : 
Xdx r dx 2 .... dx n = ±Udu l .du 2 - du n .(21) 
Nous employons le double signe, au lieu de (—-1)" : cela tient à cette 
circonstance, que les dénominateurs X et U pouvant changer de signe, 
suivant l’ordre dans lequel les équations qui servent à les former 
auront été écrites, il est impossible de décider quel signe on doit 
employer dans l’equation (21). Mais, dans chaque cas paiticuher, i in¬ 
détermination cessera. 
20. Si les anciennes variables sont données en fonction des nouvel¬ 
les, explicitement, les équations (17) deviennent 
ST,- — 0, !T 2 - ^, = 0,- *,i - ~ 0 ;.(2-) 
n,, ti 2 , .... 7 r„ désignant des fonctions des nouvelles variables seule¬ 
ment. En appliquant la règle précédente a ce cas plus simple, on 
