DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 33 
petite que l’unité que prend alors le second membre, résoudre l’équa¬ 
tion 
les n racines de cette équation seront les valeurs de u\, u\, .... u 2 n , 
correspondant aux valeurs choisies pour x\, xi, _ x\. 
Si par exemple n — 3, et si x lf x 2 , x 3 sont les coordonnées rectan¬ 
gulaires d’un point compris dans l'ellipsoïde représenté par l’équation 
(45), les trois racines de l’équation (46) seront les carrés des coor¬ 
données elliptiques de ce point, ou les carrés des paramètres des trois 
surfaces orthogonales qui s’y croisent. 
On prouve très-facilement que l’équation en y a ses racines réelles 
et inégales 1 : cela démontre la possibilité du système de transfor¬ 
mations représenté par les formules (24); système que nous avions 
admis jusqu’ici, mais sans justifier son emploi. On sait, en outre, 
qu’en désignant par u\, u\, — u\, les racines de cette même équa¬ 
tion, l’on a 
K >«?>“’>«”> ■ • • • > > Un $ . (47) 
ce qui apprend que chacune des nouvelles variables, à l’exception de 
u x , sera comprise entre deux termes de la suite a 1} a 2 , .... a n . 
Afin de savoir si ces deux termes sont les limites de l’intégrale par 
rapport à cette nouvelle variable, je reprends les équations (25) : 
1° En y supposant x x = x 2 — .... = x n — 0, auquel cas h — 0, elles 
donnent 
u ,— a ,, = a 2 , .... u n — a n ; 
2° En posant, dans ces mêmes équations, x\ = or — ci], et x 2 = x 3 
~ . . . . = x„ = 0 , ce qui donne h — 1 , il vient u x = a, u 2 — a 2 , 
., u n = a„. 
1 Voyez , sur ce point, le Journal de M. Liouville, tom. III, p. $38. 
Tom. XIV. 
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