DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 
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les limites étant déterminées par 
yl yl -+- • • • • + yi^i. 
Or, en appliquant la méthode exposée dans mon Mémoire sur la 
réduction dune classe d’intégrales multiples 1 , je trouve 
1 — aJ dU 
K dK 
en posant 
(69) 
On devra se rappeler que cette valeur de B n’est qu’une expression 
abrégée, attendu que l’intégrale U serait infinie, et que la quantité 
entre parenthèses se compose réellement de n —1 intégrales simples 
differentes. On se rappellera, en outre, que a n = 0. 
41. Si l’on convient de classer les intégrales abéliennes d’après le 
degré de la quantité placée sous le radical; que l’on appelle, par 
exemple, intégrale d ordre n celle qui contient un dénominateur de la 
forme x~ n + Aar n ~- 4 “ • • • • + N ; il est clair que la formule ( 66 ) ren¬ 
ferme une somme de produits d’intégrales définies d’ordre n : or, d’a¬ 
près la formule ( 68 ), cette somme se réduira, si n est impair, à une 
somme d intégrales d’ordre n — 1 , et si n est pair, à une somme d’in¬ 
tégrales d ordre n. La comparaison des deux valeurs trouvées pour l’in¬ 
tégrale proposée B, fournit donc un second théorème sur les intégrales 
definies abeliennes. Nous démontrerons plus loin qu’il est distinct du 
précédent. 
42. Supposons, comme cas particulier, n — 3. La formule ( 66 ) 
deviendra d’abord 
1 Journal de Liouville, tom. IV, pag. 383. 
Tom. XIY. 
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