DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 
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44. Pour plus de simplicité, je remplace u ï , u 2 , u 3 par a, u,v. La 
fonction qu’il s’agit de ramener aux transcendantes elliptiques est 
/ a x 
f 
1 dudv |/ (a 2 — u 2 ) (a 2 — v 2 ) (u 2 — v 2 ) 
V(a\ —u 2 ) {u 2 —a\) {a\—v 2 ) « —c 2 ) 
Je fais 
> j t 2 k 2 — k ' 2 1— c 2 sin. 2 y sin. 2 0 
a l ~ak, a^—ak, c = 7777-7777 , u 2 = a 2 k - . J , > 2 . —~ , v 2 —a 2 k 2 
k 2 (l—k' 2 ) 
1 — k’c 2 sin. 2 y 
1—&' 2 cos. 2 0 
.(71) 
Au moyen de ces valeurs, qui donnent k' < k < 1, et c < 1, j’ob¬ 
tiens successivement 
du — — akc 2 (1— k 2 ) 
sin. y cos. y d(f 
V a\ —i 
(1—ÆVsin. 2 y)t j/1 — c 2 sin. 2 y 
ack V\—k 2 sin. 
; Va 2 —u 2 -- 
'V\ — k 2 
1/1 — k’c 2 si 
2 sin. 2 y 
]/1 — & 2 e 2 sin. 2 y 
■,V^=7’=a . / ( f-f)- lV(l-t" ) *in.> 
- k 2 c 2 sin. 2 y 
ack V'' 1 — /s' cos. 
V\—k 
2 c 2 sin. 2 y 
cfo = ak' (1 — k' 2 ) 
cos. QdB 
]/ a 2 —® 2 = 
v*\- 
(1— k’ 2 cos. 2 e) 
-„\/EEEE±EL 
V i —k' 2 
a\/\ — k"‘ 
V 1— k ' 2 cos. 2 0 
( i — k 2 ) sin. 
COS . 2 0 
k' 2 (\ _ k 2 ) 
ou, en posant C 2 = - ■ : 
^<31? _ „* H3F- 
V 1 —Æ , 2 COS . 2 0 
Va 2 
■.ak' Vi—k" 
COS. 0 
\/ 1 —A ' 2 COS . 2 0 
En substituant ces valeurs dans l’expression de o?B, et faisant atten¬ 
tion aux réductions, on obtient 
dîi — 
i —k 2 
1 — c 2 sin. 2 
k ' 2 
sin. 2 0 
1 — k 2 c 2 sin. 2 y 1— k ’ 2 cos. 2 
d-f do 
(1 — k 2 c 2 sin. 2 y)(l—&' 2 cos. 2 o) l/(t—c 2 sin. 2 y)(l —c' 2 sic 
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