DANS LES INTÉGRALES MULTIPLES. 
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ques de troisième espèce. Quant aux deux autres, elles se ramènent 
aussi aux fonctions elliptiques; et, à l’aide de calculs dont on peut 
voir le détail dans Legendre, on trouve 
/ 
- d<? l/l—c 2 sin. 2 y 
(1—c 2 sin. 2 Asin. 2 y) 2 
1 
2sïn.A(ï—>sfnT F ‘ ^ + Sln - 2AE ' ( c ) ~ ( 1 -2sin. 2 A+c 2 sin.« A)II' (A, c)] , 
ir 
sin. 2 Ode 
r- 
j a 
(1 -i- rasin. 2 9) 2 V' 1—• è 2 sin. 2 
2m (m - 
T j Tn~+ y j [(»+ 6> ) F ‘ W-“ E ' (°) + (*■ -n-(«, i)]. 
La substitution de ces valeurs dans la formule (70) donne, après 
quelques réductions : 
■[(l-F)F I (c) + PE'(c)]n>,&)- 
‘( 1-& 2 
[F‘(Z>)-* 2 E‘(6)]IT(A,c) . (U) 
Cette expression ne diffère que par la notation, de celle qui se 
trouve à la pag. 190 du 1 er volume des Exercices de calcul intégral : 
en continuant la réduction comme Legendre, on trouve enfin, pour 
la valeur du premier membre de l’équation (70) : 
B = £ xa'kV’l — K* [> 2 E(c, k) •+■ (1 —& 2 )F(c, k) + k VT^—h 0 \/ 1—£' 2 ] . . . (78) 
• 
Or, cette valeur est précisément celle du second membre de la 
même équation, ainsi que je l’ai fait voir dans le mémoire cité. 
47. Il résulte des calculs précédents, que l’équation (70) n’apprend 
rien de nouveau sur les fonctions elliptiques; c’est-à-dire qu’en ad¬ 
mettant les propriétés connues de ces transcendantes, elle n’est qu’une 
identité. Mais il résulte aussi de ces calculs que la proposition, émise 
dans le n° 41, se trouve démontrée. 
En effet, la formule (70) ne devient identique qu’à l’aide de deux 
théorèmes différents ; l’un relatif aux fonctions complètes de première 
