ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
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On remarquera que cette expression peut aussi se mettre sous la 
forme suivante : 
1 + &0 
1-+-Z> 
1-4-A. 
1 -t-Z>, 
1 (a 4- cf) 2 " 
x 2 " 
(a 4-“2j') 2, ‘ 
1 4- Z», 
1 -+-A, 
°[»4(j)4- 1)X| 2 " 
X 2n 
l4-Z> 
X Gtc. , 
0 [a+2(p+l)J'] 2n 
a: 2 " 
1 4- 6, r-—-7—T— 1 X etc., 
[a 4- ct4- (p 4- l)^] 2 "/ \ 1 [«4- tt4- 2(p4-l)ct] 
æ 2 " \ /. a; 2 " 
[a4- 2<f4- (p 4- l)cf] 2 ' 
1 + Z), 
[((4 2^4- 2[p-\-\)<f\ 2n 
X etc., 
(a+j)J)“ 
_î- 
[fl4p<f+ (p 4-l)cf] 2 '‘j 
a; 2 " ^ 
[ ffl+ p c r + 2(p+l)cf] 2 ' l j ’ 
Or, la suite des facteurs formant chaque produit horizontal est 
une produite continue de l’espèce de la produite (4). La produite pé¬ 
riodique proposée est donc le produit de p -f- 1 produites continues 
distinctes. 
Posons 
a 4- pâ = a p , [p 4- 1 ) et— A 
et 
( 6 ). 
1 4 -b. 
X 2 " \ 
"A 1 
K 
. 2 a) 2 " 
X etc.. 
donnons à p les valeurs successives 0, 1 , 2,... p, et multiplions les ré¬ 
sultats membre à membre. Il est évident que le produit des seconds 
membres sera égal à la produite périodique proposée. On aura donc 
aussi : 
(7). Z P = X B . X t . X 2 . X 3 .... X p -j. X p , 
pour l’expression abrégée de cette produite continue. 
Les produites continues doivent être considérées comme des fonc¬ 
tions nouvelles dont les propriétés sont encore complètement incon¬ 
nues. En effet, les produites continues très-particulières (1), (2), (3) 
sont les seules dont on se soit occupé jusqu’à ce jour. Euler a déduit 
des deux premières des relations fort précieuses à la vérité, mais étran- 
