ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
7 
trouve : 
V cos. a. cos. a r cos. a, = 2 cos. (fl 0+ ®,) cos. a 2 h- 2 cos. (a —a,) cos. a 2 
— 2’ sin. a. sin. a,. sia. a 2 = 2 cos. (a -t- a,) sin. a 2 — 2 cos. (a — «J sin. a, 
simplifiant les seconds membres au moyen des relations (8) et (9) , on 
obtient : 
2 cos. a.- cos. a,, cos. a 2 — cos. [a 4 - a, -i- a 2 ) 4 - cos. (a -t- a, — a 2 ) 4 - cos. (a — f/ 2 — a. ) 
-t- cos. (a— 4 - a 2 ) 
—2 5 sin. a. sin. a,, sia. a 2 = sin. (a 4 - a,-f-a 2 ) — sin. (tn-a, — a 2 ) 4 - sin.'(a — a l — a,) 
— sin. (a — 4- a 2 ). 
Multipliant les nouvelles relations, la première par 2 cos. a 3 , la 
deuxième par 2 sin. u 3 , et simplifiant à l’aide des formules (8) et (9), 
on arrive à celles-ci : 
2 3 cos. a. cos. a,, cos. a 2 . cos.a 3 = 
cos.(a-t-a t -i-a 2 +c!3) 4- cos^a+Oj-i-^—a,) 4- cos.(<t4-a t —a 2 —a 3 ) 4- cos.(a 
• 4 - cos.(«4-0^—ffl 2 -+-a 3 ) 4 - cos.(a— a^-\-a^ —a 3 ) 
-H cos.(o—a I -+-a 2 + a 3 ) -t- cos.(a—a 2 —a 2 + o 3 ) 
—2 3 sin. a. sin. a,, sin. a 2 . sin. a 3 = 
cos.(a+a t +o 2 -+-a 3 ) — cos.(a-i-œ I +o 2 —a 3 ) -4- cos^a+a^o. 2 —a 3 ) — cos.(a 
— cos.(flM-a l —a 2 4 -a 3 ) cos.(a— a l +a 2 — a 3 ) 
cos.(o <ï I H-o 2 4 -a 3 ) 4 - cos.(a——a 2 4-a 3 j. 
On obtiendrait de la même manière les développements des produits 
d un plus grand nombre de cos. et de sin. ; mais l’examen des cas par¬ 
ticuliers qui précèdent, permet déjà de reconnaître les lois auxquelles 
ces développements sont soumis. Voici ces lois : 
1° Le produit des cos. de n arcs a, a,, a 2 , a 3 , a n _ , par le nombre 
2"- 1 est égal à la somme des cos. des 2 n ~ l arcs qu’on obtient en com¬ 
binant avec le premier a , les n —1 autres pris successivement avec 
les signes + et—, et tous ces arcs entrant dans chaque combinaison ; 
2° Le produit des sin. de n arcs a, a„ a 2 , a 3> . . par le nom¬ 
bre 2 1 pris avec le signe moins, est égal à la réunion de 2 n_1 cos., 
si n est pair, et à celle de 2 n_1 sin., si n est impair; ces sinus et ces co¬ 
sinus sont ceux des arcs qu’on obtient en combinant avec l’arc a les 
®I °2 + fl 3 ) 
a 3 ) 
