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ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
n — 1 autres pris successivement avec les signes -J- et— ; enfin le signe 
de chaque terme est positif ou négatif selon qu’il entre, dans la com¬ 
position de l’arc correspondant, un nombre pair ou impair de parties 
négatives— a 1 , — a 2 , .... a n _ x . 
La généralité de ces deux lois sera établie si l’on démontre que, 
ayant lieu pour un nombre donné d’arcs, elles ont lieu encore pour 
un arc de plus. En effet, puisqu’elles sont vraies pour quatre arcs, 
elles le seront pour cinq , puis pour six, pour sept, etc. 
Soit donc, pour le produit de n sinus et dans le cas où n est pair, 
l’égalité hypothétique : 
— 1 n ~ 1 sin. a. sin. a,. sin.a 2 .... sin. a n —\ — cos. A u -+- (—1) S cos. A t -+- (—1)’S cos. A 2 .... 
-v- (—\y S cos. Kp-\ - 
dans laquelle p indique le nombre de parties négatives qui entrent 
dans la composition de l’arc et 2 cos. la réunion des cosinus 
de tous les arcs qui renferment p parties négatives. Le nombre des 
termes du second membre est par hypothèse égal à i l n ~ 1 . 
Cette relation étant multipliée par 2 sin. a n , le premier membre 
devient 
— 2" sia. a. sin. a r sin. a 3 .... sin. a n —i. sin. a n , 
et, dans le second membre, on a, en particulier, pour la somme 
(“1 ) p 2 COS. A p . 
(—\) p S cos. A ? X2 sin. o„ = (—\) p S sin. {k p -i- a n ) -+- (—1) P+I sin. (A P —a n ). 
Donc, par l’introduction d’un facteur nouveau 2 sin. a„dans le pre¬ 
mier membre, 1° le nombre des termes du second membre est doublé; 
il était 2 pour deux facteurs, il sera 2 2 pour trois, 2 3 pour quatre,.... 
2”~ 1 pour n facteurs; 2° le second membre exprimé en cosinus dans le 
cas de n pair, est exprimé en sinus dans le cas de n + 1 impair ; 3° tout 
terme sin. (A p — a„) dans la composition duquel le nombre des parties 
négatives est plus grand d’une unité que celui des parties négatives qui 
entrent dans cos. A^ prend un signe contraire à celui de cos. A p ; et tout 
