ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 9 
terme sin. (A, + a n ), dans la composition duquel le nombre des parties 
négatives est le meme que celui des parties négatives qui entrent dans 
cos. A p , conserve le signe de cos. A,. On voit donc que le développe¬ 
ment du produit d’un nombre impair de sinus suit la loi énoncée plus 
haut, si cette loi a lieu pour le développement du produit d’un nombre 
de sinus pair et immédiatement inférieur. Il en résulte évidemment 
que la loi étant vraie pour un nombre impair n + 1, est vraie aussi 
pour le nombre pair immédiatement supérieur n- j-2. Or, elle a été 
reconnue pour le produit de quatre sinus ; donc elle est générale. 
On démontrerait de même la loi du développement du produit d’un 
nombre quelconque de cosinus. 
Convenons actuellement de représenter, comme il suit, les déve¬ 
loppements des produits dont il vient d’être question. 
2 " _I cos.a.cos.a t .cos. a„_, = cos. A 0 - 4 - £ cos. A, - 4 - S cos. A, -+. .... 
S cos. A p -+-...., 
— 2 " _I sin.a.sin..sin. a„-i = cos.A 0 - 4 -(— ])Scos. A,-4-( —lpScos.A, 
-+~ .... H- (—1)^ S COS. A p .... , 
—sin.a.sin.n, .sin. or*-, = sin. A 0 -4- (— l)Ssin. AIpSsin.A, 
- 4 - .... - 4 - (—1 y Ssin. Kp - 4 -. 
Ca seconde de ces identités ayant lieu quand n est pair, la troisième 
quand n est impair, et la première pour un nombre n entier quel¬ 
conque. 
Il est aisé d’expliquer comment le développement du produit de 
plusieurs sinus ne peut renfermer de sinus si le nombre des facteurs 
circulaires est pair, ni de cosinus si le nombre de ses facteurs est 
impair. En effet, si l’on vient à changer les signes de tous les arcs 
®, a i , ® 2 , 5 .... a n -1 > l es signes de tous les facteurs du premier mem¬ 
bre changeront, et le signe du produit restera le même ou changera 
selon que le nombre de ses facteurs sera pair ou impair. Il en devra 
etre de même du signe de la quantité représentée par le second membre. 
Or, comme, dans le cas général, il n’y a pas de réduction possi¬ 
ble dans le second membre, on voit que ce second membre ne chan¬ 
gera de signe qu’autant que chacun de ses termes ne change de signe 
To*. Xi Y. 
