ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
V. DU DÉVELOPPEMENT DES PRODUITES CONTINUES EN SERIES. 
On vient de voir que l’évaluation des produites continues par leurs 
logarithmes est toujours possible quand on peut évaluer la somme des 
coefficients de x et celle de leurs deuxièmes, troisièmes, quatrièmes, etc., 
puissances. Les mêmes conditions suffisent pour le développement des 
produites continues en séries. Car ces sommes sont liées aux coefficients 
de ces séries par des relations connues depuis Newton. Toutefois l’im¬ 
possibilité d’obtenir, dans le plus grand nombre de cas, le terme gé¬ 
néral de ces séries, m’a porté à ne m’occuper ici que des produites 
continues (16) et (17). 
Nous représenterons la première par S et la seconde par C. Nous 
aurons donc à trouver les développements identiques aux expressions 
sin. ix. sin. Qix. sin. tfix. sin. f$ix .... sin. I3 n ~ 1 ix 
O = -——---- 
o.n — i 
(—1) 5 x n 
C = cos. ix. cos. /3 ix. cos.^ix. cos. fîix .... cos. /3 n — 1 ix. 
En les comparant aux formules (10), on prévoit sans peine que c’est 
de ces formules que doivent se déduire les développements en ques¬ 
tion. 
En effet, concevons que, dans ces formules (10), on donne aux 
arcs a, a 1} a 2 ,a 3 , .... qui y entrent, les valeurs suivantes : 
a = ix , a l = /iix, a^ — P’ix, a, t = (Pix, .... a n —i — $ n ~ 'ix , 
elles donneront visiblement les développements dont il s’agit en fonc¬ 
tion de sinus et de cosinus d’arcs de la forme 
( 1 -+- |3 -t- /3 2 -i- /3 3 h- .... -i- /3"— 2 -+- 3 n — ') ix , 
et le nombre de ces arcs sera de 2"~ 1 . Mais ce qu’il est important de re- 
