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ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
n,eï il suffit d’en connaître^ qui ne se transforment pas, par les opé¬ 
rations que je "viens d’indiquer, les unes dans les autres : la connais¬ 
sance de ces arcs que j’appellerai primitifs conduit, comme on vient 
de le voir, à celle des autres arcs. 
Il est vrai que le quotient ^—1 n’est un nombre entier qu’autant que 
n est une puissance de 2. Mais dans le cas où cela n’est pas, il y a tou¬ 
jours des combinaisons de 1 , /3, /3 2 , /3 3 .... /3"- 1 qui sont nulles d’elles- 
mêmes. En effet, si le nombre n n’est pas une puissance de 2, on peut 
concevoir qu’il est le produit de deux nombres dont l’un au moins est 
impair. Soit p ce facteur impair et m l’autre facteur. On aura donc en 
général n — mp. Or, si F on fait 
1 .+. n + p -4- p -4- .... /3 m — 1 = M , 
il est visible que l’une des combinaisons des quantités 1 , /3 , /3 2 , /3 3 . . 
/3" _1 peut être mise sous la forme 
(36).M — M/3 m ■+■ W' m — M/3 3 ™ -+- .... m- , 
et cette expression revient évidemment à celle-ci : 
M 
i + /f m 
i + r 
= M. 
i -+- a n 
ïTr 
qui est nulle, puisque /3' 2 = —1. Donc cette combinaison et toutes 
celles qui s’en déduisent, soit par les changements de signe dans les 
termes du facteur commun M, soit par toute autre opération, sont 
nulles d’elles-mêmes. 
On remarquera que j’ai tout seulement démontré qu’il y a des com¬ 
binaisons nulles d’elles-mêmes, lorsque le nombre n n’est pas une 
puissance de 2. Il resterait à déterminer l’expression générale du nom¬ 
bre des combinaisons qui jouissent de cette propriété. Mais cette ex¬ 
pression, qui est évidemment liée à celle du reste de la division de 2"~ ! 
par n, ne me parait pas moins difficile à établir que celle de ce reste. 
Le seul cas où n est un nombre premier fait exception. En effet m est 
