ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
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alors égal à l’unité aussi bien que M et p se change en n. L’expression 
(36) donne donc 
1 — /3 -+- j8 a — /3 3 -+- /3 4 — .... — H n -~ 2 - 4 - /3«-' — 0, 
et toutes celles qu’on en déduirait par les opérations qui ont fourni le 
tableau (35) lui seraient identiques. Donc, lorsque n est un nombre pre¬ 
mier, une seule des combinaisons des quantités l,/3, /3 3 .. /3” —1 est nulle 
d’elle-même. Donc aussi 2 re_1 —1 est exactement divisible par n , toutes 
les fois que n est un nombre premier. Ceci est, sinon une démonstra¬ 
tion, du moins une confirmation nouvelle du théorème de Fermât. 
Les relations du tableau (35) sont périodiques en ce sens que, si on 
multiplie la dernière par / 3 , on reproduit la première. La combinaison 
1 /3 p -+- (P -+- .... -t- 3"—i, 
engendre donc une période de n combinaisons différentes. 
La combinaison (36), qui est nulle d’elle-méme, ne donne naissance 
au contraire qu’à une période de m termes. En effet, si on la multi¬ 
plie par— (3 d’abord et ensuite (m —1) fois de suite par /3, ou, ce qui 
revient au même, si on la multiplie par — / 3 m , on obtient une combi¬ 
naison qui est l’expression (36) elle-même. 
Ainsi, le nombre de combinaisons que peut engendrer une combi¬ 
naison nulle d’elle-méme, considérée comme combinaison primitive, 
est toujours moindre que le nombre de termes qui composent chaque 
combinaison moins un. 
Cette propriété résulte de ce qu’une combinaison nulle d’elle- 
même ou l’une de celles qui en dérivent, peut se ramener à la forme de 
l’expression (36) dans laquelle les termes étant alternativement posi¬ 
tifs et négatifs, les termes extrêmes sont essentiellement de même signe. 
Cette forme appartient aux seules combinaisons nulles d’elles-mêmes. 
Donc ces combinaisons sont les seules qui jouissent de la propriété 
d’engendrer un nombre de combinaisons dérivées moindre que n —1. 
Il suit de là que, si le nombre de combinaisons nulles d’elles-mêmes 
