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ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
n’est pas égal, dans le cas général, au reste de la division de 2" _1 par 
n, il est égal à ce reste augmenté d’un multiple de n. Car, soit q le 
nombre des combinaisons primitives, r le nombre des combinaisons 
nulles d’elles-mèmes, Q le quotient de 2 n_1 par n, R le reste de cette 
division, on aura l’égalité 
nq + r =■ nQ -i- R , d’où r = (Q — ÿ)«- -f- R. 
Cette conclusion, qui renferme tout ce qu’il faut connaître ici sur le 
nombre des combinaisons nulles d’elles-mêmes, sera confirmée par 
les calculs qui vont suivre. 
Ces préliminaires posés, venons-en au développement des produites 
continues en séries, et commençons par l'expression (34). 
Les n relations (35) étant multipliées par ix, si l’on prend la somme 
des cosinus des premiers membres et celle des cosinus des seconds 
membres, on aura, en représentant par C, cette somme, 
C t = cos. y ix h- cos. y (lix -+- cos. y pix ■+■ .... -+- cos. y /3 n —'ix, 
or, on sait que 
COS. y, (i^ix = 
X 
L2 
ai/xA - + a 6 ^. 6 - + 
P f 4/1 + P 1 J 6/1 
faisant donc, dans cette formule, successivement ^ = 0, 1,2, 3, 4, ... 
n — 1 et ajoutant les résultats membre à membre, on trouvera, en 
ayant égard aux propriétés des racines de l’unité , 
(87) 
C. = n -+- «s 1 
,3«/l 
1lf in 
An ! 1 
-+- n 
.. 6 /> 
,«»/1 
etc., 
y, dans cette série représente l’une des combinaisons primitives. J’ai 
indiqué par q le nombre de ces combinaisons primitives, et par r le 
nombre des combinaisons nulles d’elles-mêmes. La somme des cosi¬ 
nus des arcs qui correspondent à ces dernières est donc égal à r, et la 
somme ou la différence de leur sinus, zéro. 
