ESSAI SUR LES PRODUITES CONTINUES. 
39 
dans laquelle A# représente l’accroissement donné à la variable x, on 
fai ïx—m —1, Aa? = —J— 1 et fx= [m -—1 ) y ^ 1 , on en tirera 
(m-l)?- 1 /-! Œ _> (w _ 2) f-l/-l + . 
1 j2/l 
+ (- 1 )’’ -1 “ Zï/r + (- 1 )". 
Or, 
a? (m-l) ? - 1 /-l = (_l)f (y-1)?/- 1 . (m-l)-!/-! 
et comme 
( ?- 1 ) ?M = o, 
il en résulte que 
A? (»J—1J ?_1 / _1 = 0. 
Le premier membre de la relation précédente est donc nul : de là la 
formule en question. 
(47). 
2/—1 
_ 
jS/l 
1/-1 
2?-!/—1 v " 
Revenons actuellement à la relation (46) et remarquons que, quand 
l’exposant m est un nombre entier positif, le nombre des termes de la 
série (44) est égal à - -j-1 ou —^ selon que m est pair ou impair. L’ex¬ 
posant m — n, dans les limites où il doit être pris, est donc toujours 
positif et la factorielle 0 toujours nulle. Au contraire, lorsque 
cet exposant est un nombre fractionnaire ou négatif, le nombre des 
termes de la série est visiblement infini. Il existe, dans cette hypo¬ 
thèse, un nombre n à partir duquel l’exposant m—n est toujours 
négatif. Mais, en observant que la factorielle égale à 0~ ( ” _m)/ç 
est alors équivalente à j> on voit que le facteur 0 m ~ n qui 
peut devenir infini quand ç est nul, conserve au contraire une valeur 
assignable quand cet accroissement est différent de zéro. Or, le fac- 
