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ADDITION. 
Remarquons aussi que la série précédente est l’expression du coefficient 
différentiel du logarithme de la produite continue X. On aura donc 
d, log. X 
dx 
et en intégrant 
, p J™ -+- etc. 
Z r Arr,'*' 
Il n’y a pas lieu d’ajouter de constante arbitraire, puisque les deux 
membres de cette relation sont nuis pour # = 0. 
L’analyse qui précède donne donc les logarithmes des produites 
continues qui font l’objet du mémoire, et cela sans rien supposer de 
ce que j’ai admis pour arriver à ces logarithmes. 
Si l’on voulait construire le logarithme de X par la méthode dont 
j’ai fait usage dans le mémoire , on arriverait à une série de la forme 
de celle que je viens d’atteindre; et l’on reconnaîtrait, par la nature 
même de cette construction, que, dans cette série, le coefficient de 
x m est la somme des puissances réciproques du degré impair m de la 
suite infinie des nombres a, a-\-à, a-[-3<Letc., qui se succèdent en pro¬ 
gression par différence ; et que le coefficient de -lx 2m , dans la même 
série , est la somme des puissances réciproques du degré pair 2 m de la 
même suite. Donc P m et V 2m représentent respectivement ces sommes. 
D’ailleurs leur expression algébrique s’obtient en faisant successive¬ 
ment y=m, y=2m dans celle de P r . Il résulte de là que cette dernière 
est la somme des puissances réciproques de degré quelconque d’une 
suite infinie de nombres en progression par différence. 
On aura donc, quel que soit y , 
111 1 B, y B 3 cT r 3 /i B,c/ 3 
•— -+- —--+- - h- etc. = -— -+- ■—-—— - 4 - —— 
(a -y- et) 7 {a-y-*2<ff 
et ce résultat est conforme à celui que fournit l’application du calcul 
des différences finies à la sommation des suites. 
