fesseur à l’Université de Tubingue et disciple distingué de Riemann, 
nous a ôté cette illusion. Dans un mémoire publié en 1870 (*), 
non-seulement M. Hankel admet parfaitement l’existence de fonc¬ 
tions continues qui n’ont point de dérivée, mais il formule un 
principe général auquel il donne le nom de Condensation des 
singularités, et qui permettrait d’en construire un nombre indé¬ 
fini. Il apporte même divers exemples de semblables fonctions. 
Ainsi, les géomètres connaissaient des fonctions, telles que 
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f(,x) = a — (sin x) z , 
dont la dérivée devient infinie pour un nombre illimité de valeurs 
de la variable, c’est-à-dire des courbes présentant une infinité 
de rebroussements, séparés l’un de l’autre par des intervalles 
déterminés. Ils admettaient même que ces intervalles puissent 
décroître indéfiniment, à mesure que l’abscisse x se rapproche 
d’une limite déterminée, en sorte que les saillies (Spitzen) se res¬ 
serrent de plus en plus: mais un intervalle déterminé séparait 
toujours nécessairement deux saillies consécutives, puisque la 
notion même du point de rebroussement implique deux arcs con¬ 
tinus, si petits qu’ils soient, qui y aboutissent. Or, M. Hankel 
apporte des exemples de fonctions continues de x dont la dérivée 
deviendrait infinie pour toutes les valeurs commensurables de la 
variable x, en sorte qu’entre deux points quelconques, si rappro¬ 
chés qu’on les suppose, la courbe représentative d’une telle 
fonction admettrait un nombre infini de rebroussements. 
De même, on connaissait des exemples de fonctions telles que, 
la variable s’approchant indéfiniment d’une valeur particulière, 
(*) Untersuchungen über die unendlich oft oscillirenden und unsleligen 
Functionen , ein Beitrag zur Festellung des Begriffs der Function iiberhaupt, 
von D r Hermann Hankel; Tübingue, 1870. 
