la fonction tend elle-même vers une certaine limite par une suc¬ 
cession indéfinie de valeurs alternativement croissantes et décrois¬ 
santes, en présentant ainsi des oscillations en nombre indéfini¬ 
ment croissant, mais d'une amplitude de plus en plus petite : 
telle est la fonction 
1 
f (x) — x sia — 
dans le voisinage de x = 0. La dérivée de cette fonction est évi¬ 
demment indéterminée pour x = 0. Mais M. Hankel donne les 
équations de courbes indéfiniment oscillantes dans le voisinage 
de chaque point qui répond à une valeur commensurablc de x, 
et n’admettant aucune tangente en ces points : tellement qu'on 
ne peut concevoir aucun intervalle, si petit qu’il soit, qui ne ren¬ 
ferme un nombre infini de valeurs de x pour lesquelles la dérivée 
est indéterminée. 
Il faut ajouter que le mémoire de M. Lamarle paraît totale- 
ment inconnu à M. Hankel; il ne fait allusion qu'à la tentative 
de démonstration essayée par Ampère (*). 
Nous crovons faire chose utile en mettant à nu l’erreur de 
raisonnement sur laquelle reposent de semblables paradoxes, qui, 
répandus dans le champ de la géométrie, auraient pour résultat 
d’en altérer l’esprit et d’entraîner dans de nouvelles erreurs les 
géomètres trop confiants. C’est ainsi que nous voyons M. Houël, 
dans un compte-rendu du mémoire de M. Hankel (**), en accepter 
(*) Ce n’est pas le seul point où l’érudition de M. Hankel soit eu défaut. Il 
attribue à Gauss, dans une note, le mérite d’avoir signalé en 1816 l’incerti¬ 
tude des résultats auxquels conduit le passage par l’infini de la fonction sous 
le signe/; tandis que Cauchy, dans son admirable mémoire de 1814, avait 
fait cette observation et indiqué les corrections que l’on doit faire subir 
alors à l’intégrale définie ( Mémoires de l'Institut; savants étrangers , t. J, 
p. 686). 
(**) Bulletin des sciences mathématiques de M. Darboux, avril 1870. p. 117. 
