2. Après avoir précisé ce qu’il entend par fonctions d'une seule 
variable, le sens qu’il attache à la continuité de ces fonctions pour 
une valeur quelconque de la variable, M. Hankel revient sur les 
fonctions à dérivée infinie, et dit : « On peut concevoir des fonc¬ 
tions telles que, tout en restant constamment continues, et n'admet¬ 
tant d’ailleurs que des oscillations finies, elles présentent cepen¬ 
dant une dérivée infiniment grande pour un nombre infini de 
valeurs de x comprises dans le plus petit intervalle, et aient ainsi 
un nombre infini de rebroussements (*). » 
Enfin, il ajoute (p. 14), au sujet des fonctions qui présentent 
un nombre indéfini d’oscillations : « Telle est la fonction x sin - 
X 
qui jouit de la propriété susmentionnée, au moins dans un inter¬ 
valle comprenant la valeur x = 0. D’autres fonctions, qui jouissent 
de cette même propriété en un nombre infini de points d J un inter¬ 
valle quelconque, sont indiquées au § 5. En ce qui concerne le 
coefficient différentiel, on peut signaler des fonctions de cette 
seconde classe, qui n’en possèdent pas pour une fnfinité de valeurs 
de la variable. » 
5. C’est au § 4 de son Mémoire que M. Hankel pose les prin¬ 
cipes de sa méthode de condensation des singularités. Une fonc¬ 
tion y (y) étant donnée, qui présente une singularité donnée pour 
une valeur particulière y — 0; qui a, par exemple, en ce point une 
dérivée infinie ou indéterminée, M. Hankel en tire une autre fonc¬ 
tion f (x), entièrement continue, et représentée analytiquement 
par la série toujours convergente. 
Ÿ (sin xx) ? (sin 2tæ) <? (sin 5 rrx) 
-1- ---H- -f- . 
I s 5 S 
Cette fonction aurait, d’après lui, la propriété remarquable de 
(*) L’auteur indique même en note une construction géométrique propre à 
faciliter la représentation de telles fonctions : on divise un carré en /x 2 carrés 
égaux par des parallèles aux côtés, et l’on joint deux sommets opposés du 
carré par un tracé en escalier qui suit alternativement des portions de paral¬ 
lèles à deux côtés adjacents. Lorsque /x croit indéfiniment, ce tracé anguleux 
tend à se confondre, à l'œil , avec la diagonale du carré, quoique le nombre 
des saillants croisse à l’infini. Ce paradoxe assez connu ne prouve absolument 
rien, comme l’auteur, du reste, a soin de le faire observer. 
