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reproduire, pour toutes les valeurs commensurables de x, la 
même singularité qui affecte, pour y = 0, la fonction donnée ? (y). 
En sorte qu’entre deux valeurs quelconques de x, si rapprochées 
qu’elles soient, il en existerait une infinité qui ne seraient sépa¬ 
rées par aucun intervalle assignable, et pour lesquelles la déri¬ 
vée de la fonction serait infinie ou indéterminée. 
Le | o est consacré à divers exemples particuliers de telles fonc¬ 
tions. Les unes, comme la fonction 
« = ce 
f {%)=2 
sin nxir 
sin 
n = 1 
n b 
,sin nxx, 
> 
sont indéfiniment oscillantes dans le voisinage de chaque valeur 
commensurable de x , en sorte que, pour chacune de ces valeurs, 
le rapport ~ passe indéfiniment du positif au négatif et 
vice versa lorsque e tend vers zéro, sans jamais converger vers 
une limite déterminée. 
Les autres, comme 
f(x) = 
(sin nx: r ) 5 
n s 
admettent une dérivée infinie pour toute valeur commensurable 
de x f le rapport croissant alors indéfiniment à mesure 
que s converge Vers zéro; en sorte qu’il n’existe pour la variable 
x aucun intervalle, quelque petit qu’il soit, dans lequel le rap¬ 
port en question tende constamment vers une limite déterminée 
et finie. 
Nous allons donc reprendre la suite des raisonnements par les¬ 
quels M. Hankel croit établir son principe de la condensation des 
singularités, en passant rapidement sur les points qui ne donnent 
lieu à aucune objection; et nous montrerons clairement l’erreur 
sur laquelle repose sa démonstration. 
4. Considérons, dit M. Hankel (*), une fonction y (y) qui, pour 
toutes les valeurs de y entre — 1 et h - 1 , sauf pour y = 0 , ait 
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