une valeur unique, déterminée, comprise entre — 1 et -+- 1 , et 
variant avec y d’une manière continue, en sorte que si â est sufii- 
samment petit, la différence 
? (y **- — f (y) 
soit développable suivant les puissances ascendantes deo, par la 
formule de Taylor. D’ailleurs, admettons que pour y = 0 celle 
fonction y (y) présente une singularité qui rende impossible le 
développement de o (y) suivant les puissances entières de ?y, la 
fonction conservant toutefois une valeur déterminée, égale à zéro. 
Définissons une nouvelle fonction f(x) par l’équation 
----» 
7t i 
s désignant une constante dont Fa valeur est > 5 : cette fonction 
f'(x) sera tellement imprégnée de la singularité que la fonction 
ç> (y) manifeste exclusivement pour la valeur isolée y = 0, qu’elle 
en sera affectée en un nombre indéfini de points d’un intervalle 
fini quelconque. 
Il résulte d’abord de ces prémisses, comme on le voit sans 
peine, que la série dont la somme est désignée par f(x) est con¬ 
vergente pour des valeurs quelconques de x, et qu'ainsi la fonction 
f(x) a une valeur constamment finie, déterminée et unique. En 
outre, on s’assure facilement que, si l’on désigne par s un accrois¬ 
sement infiniment petit de x, par m un nombre entier qui peut 
être aussi grand qu’on le veut, et par h' une certaine quantité 
comprise entre — 1 et -+- 1 , l’accroissement de la fonction peut 
s’exprimer comme il suit : 
( 1 ) 
f [sin n {x -+- ?) tt] — » (sin nœ,r) 
r(x+ £ ) -nx)= 2 ^- y — - - 
h' 
n— i 
m s 
s- i 
Il en résulte que la fonction /(x) reste continue quelque soitx, 
si la fonction o (y) est elle-même continue entre y— — \ et 
y — -h \. Cette proposition, dont M. Hanbel donne une démon- 
