stration sujette aux mêmes]objections que le reste de ses raison¬ 
nements, nous allons, pour faciliter la discussion, l’établir d'une 
manière directe et très-simple. Donnons d’abord au nombre m 
une valeur assez grande pour que , et a fortiori -J—; , soit 
moindre qu’une quantité donnée £, choisie d’ailleurs aussi petite 
qu’on le veut. Nous pourrons ensuite faire décroître e suffisam¬ 
ment, à cause de la continuité de la fonction ^ (y ), pour que 
l’expression 
? [sin n {x -+- e) r) — ? [sin nx; t] 
Tl s 
y 
ait une valeur numériquement] inférieure à ~ pour les diverses 
valeurs de n , depuis n == 1 jusqu’à ri= m. Par suite, nous aurons 
f(x f) — f(x) <2?, et comme Ç peut être supposé aussi 
petit qu’on le veut, il est clair que l’on peut toujours, quelle que 
soit la valeur de x , faire décroître £ de telle manière que 
f (x -r- s) — /'(x) reste inférieur à toute grandeur donnée, ce qui 
revient à dire que la fonction f (x) est continue pour toute valeur 
de x. 
o. Ce point étant établi, reprenons la suite des déductions de 
rauteur. D’après les propriétés attribuées à la fonction o(y ), si 
nous admettons, d une part, que siunxTr soit différent de zéro, de 
l’autre, que iu soit une très-petite quantité, i! sera évidemment 
permis de développer l’accroissement de ©(sin nx n) par la formule 
connue, où Q désigne une quantité comprise entre 0 et 1 : 
(2) f [sin n (x -\-£) 7c\ —f[sin nx 7 r\ — nz7r f [sin n (x4-0£')?r]cos n(æ+Qs)7ir (*). 
Comme le cas de sin uxtc — 0 ne peut se présenter pour aucune 
valeur incommensurable dex; que, d’un autre côté «nous pouvons 
établir, entre U accroissements convergeant vers zéro et le nombre 
entier m croissant indéfiniment, telle relation qu’il nous plait, » 
( ¥ ) 11 y a ici une première erreur, constamment reproduite dans ce qui suit : 
M. Hankel écrit cos hxtt au lieu de cosn(x -\-Q£)x. Comme elle est d’ailleurs 
sans influence sur le raisonnement , nous nous bornons à la signaler en pas¬ 
sant. 
