nous admettrons que, quelque grand que soit m,le produit me de¬ 
meure constamment inférieur à une très-petite quantité donnée, 
et, a fortiori, n étant <m, le produit ne sera aussi très-petit. Nous 
pourrons donc appliquer, à chacun des termes sous le signe 2, 
dans l’équation (I), la transformation indiquée sous l’équation (2j. 
et écrire 
W'V[sin ft(a?-Me);T] , . 4 h' 
f { x — f {x ) = Tes — -- - — - cos n (x - 4 - de) /T 
n = 1 
m 
s — 1 
ou bien, en divisant par e, 
(3) 
n — m 
«2 
f '[sinn (Æ-h Se) 7c\ 
Il = 1 
n s 
cos n {x-\-ûé)rr 
h' 
em 
s— I 
Concevons maintenant, s étant toujours supposé >5 pour la 
convergence de la série, que e décroisse indéfiniment, mais que 
l’on établisse la dépendance entre s et m de telle manière que me 
tende vers la limite zéro, en même temps que em s T i croit au-dessus 
de toute limite (ce qui est évidemment facile à réaliser). « D’une 
part, dit M. Hankel, le premier terme du second membre tendra 
nécessairement vers la limite 
o’ (sin nxrr) 
-cos nxTT ; 
n s ~ 1 
h' 
d’autre part, le reste _» ■ convergera évidemment vers zéro, et 
l’on aura, conséquemment 
lim. 
f(x -t- e) — f(x) 
= f (X) — 7T S 
f' (sin nxTü) 
n — î 
n 
s— 1 
cos nxTT ; 
la dérivée de la fonction /‘(x) est donc parfaitement déterminée 
et indépendante de la loi suivant laquelle e tend vers zéro, pour 
toute valeur incommensurable de x. » 
C’est dans ce raisonnement que se trouve le vice capital de la 
théorie de M. Hankel. Dans l’équation (3), figurent deux quan¬ 
tités, l’une très-petite, e; l’autre très-grande, m. Si l'on attribue 
à m une valeur aussi grande qu’on le veut, mais invariable, on 
