pourra évidemment, en faisant décroître suffisamment e, satisfaire 
à la condition que ms tombe au-dessous d'une très-petite quantité 
donnée, et que la somme d'un nombre déterminé de termes 
2 
71 = i 
’ f' [sin n (X -+- 0e) 7u\ cos n (x -4- 6s) tt 
n s 
diffère aussi peu qu’on le voudra de la somme des limites de ces 
termes 
U - 
2 
■)> — 
f' (sin nx7v) cos nxr 
n s ~ 1 
Mais alors, on ne voit plus que le reste— ; ; r , dont le dénomi¬ 
nateur tend ici vers zéro, ait lui-même pour limite zéro. Si, au 
contraire, dans l’équation ( 5 ), on regarde*? comme très-petit,mais 
fixe, et m comme indéfiniment croissant, on peut bien faire dé¬ 
croître —7—rau-dessous de toute grandeur donnée, mais, dans les 
termes sous le signe 2, le produit ns ne reste pas indéfiniment 
petit, donc sin nxr. passe par zéro une ou plusieurs fois entre les 
valeurs x et x -4- s de la variable ; '/[sin n (x - 4 - Bs) 7 :~\ peut donc être 
infini ou indéterminé, et même la formule (2) n’est plus dans le 
cas d’être appliquée. Ce n’est donc pas arbitrairement, mais par 
une nécessité de sa démonstration, que M. Hankel, pour tirer la 
formule ( 4 ) de la formule ( 5 ), suppose que l'on fasse varier simul¬ 
tanément s et m, de façon que m croisse indéfiniment à mesure 
que s converge vers zéro : cette dépendance entre m et*? est indis¬ 
pensable pour que ms reste très-petit en même temps que sm s ~ l 
tend vers l’infini (*). Ainsi, tandis que Vaccroissement s de la va¬ 
riable tend vers la limite zéro, le nombre m reçoit des valeurs de 
plus en plus grandes, et le nombre des termes renfermés dans 
r expression 
?' [ sin 11 ( x ■+• 9 f ) n\ 
y - COS n (x -+ -&s)7T 
^ rl S-L 
71 = i 
croît au delà de toute limite. 
O II faut même que s soit J 2 -, sans quoi il existerait, entre x et x-\r s, 
des valeurs de la variable pour lesquelles sinnÆTT s’annulerait, et l’équation (2) 
n’aurait plus lieu. 
Tome XXIII. 
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