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Or, il n’cst nullement démontré, ou plutôt le contraire est dé¬ 
montré vrai dans un grand nombre de cas, que la somme d’un 
nombre indéfiniment croissant de termes qui, pris isolément, ten¬ 
dent respectivement vers des limites déterminées, ait pour limite 
la somme delà série formée par les limites des différents termes f). 
II n’est donc pas permis de dire, sans plus ample preuve , que la 
somme 
y' [sin n (x -4- 0e) x] 
n* — 1 
cos n (x -+- Os) rr 
ait pour limite 
f (sin nx7ü) 
-COS 11X7Ü , 
n s ~ 1 
ni même que cette somme tende vers une limite quelconque, 
quand même la série formée par les limites des termes, savoir 
(sin nx7c) 
n s ~ 1 
cos nX7v 
serait convergente, ce qui, d’ailleurs, ne résulte nullement de la 
démonstration (**), et ce qui même est invraisemblable, comme 
nous le verrons plus loin sur les exemples choisis par M. Hankel. 
L’erreur dans laquelle M. Hankel est tombé est à peu de chose 
près celle qu’avait commise Cauchy dans son Analyse algébrique 
(p. 151), lorsqu’il croyait avoir établi ce théorème faux : a La 
somme d une série toujours convergente, dont les termes sont 
fonctions toujours continues de x, est elle-même une fonction con¬ 
tinue de x. » Il suffirait d’admettre le raisonnement de M. Hankel 
pour prouver que, si une série est convergente, la série formée 
par les dérivées de ses termes est nécessairement convergente et 
a pour somme la dérivée de la somme de la première : or, on sait 
que cela n’est pas exact. 
Ainsi, l’équation (4) n’est nullement démontrée. 
C) La différence entre chaque terme et sa limite tend bien vers zéro, mais 
comme le nombre de ces différences croît indéfiniment, leur somme peut rester 
finie ou même croître au-dessus de toute limite. 
C 4 ) 11 faudrait pour cela faire voir que ^ , p étant > 2, ne peut 
jamais croître au-dessus de toute limite, quelque grand que soit n. 
