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6 . Continuons l'examen de la théorie de M.Hankel. Après avoir 
obtenu, de la manière ci-dessus, l’équation (4) pour les valeurs 
irrationnelles de x, l’auteur examine le cas où la valeur de x est 
rationnelle, et de la forme irréductible v et y étant entiers. 
Les termes de la somme 
’v m ? [ s * û n ( x £ ) ® ( s * n nX7ü ) 
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dans lesquels n n’est pas un multiple de y, et où, par suite, sin nx k 
est différent de zéro, rentrent évidemment dans le même cas que 
les termes considérés précédemment, et les mêmes raisonnements 
leur sont applicables. On peut donc les écrire sous la forme 
¥' [sin n (x -h 9 e) tt] 
en -:-cos n {oc •+- 0s) 7c, 
n s ~ 1 
et leur somme peut être figurée par sQ. Quant aux termes où n 
est un multiple r de y., n=ry, on voit sans peine qu’ils se rédui¬ 
sent à la forme 
¥ (zb sin ryer) 
- - ? 
r s fi s 
et si l’on désigne par r la plus grande valeur de r pour laquelle 
ry ne dépasse pas m, on aura 
f(x + e)—f.(x) ^’"?{± sin ryev) h' 
(a) • .---- =ü+ > ---1-: • 
s Jmj er 8 ^ 8 “ 1 
r= i 4 
« Or, dit M. Hankel, si l'on suppose toujours que em demeure 
inférieur à une très-petite quantité donnée, bien que m croisse 
indéfiniment, il sera permis de remplacer le sinus par l’arc, et 
décrire 
au lieu de 
1 ¥■ (dt ry-en) 
£ £ L r s fx s 
\ W f (zt sin r/n£7r) 
e ^. r x y s 
r= 1 ; 
et comme, à cause de la singularité qui affecte la fonction *(</) 
