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plète. Il se peut donc, et c’est ce qui a lieu effectivement, que Q ne 
tende lui-même vers aucune limite finie et déterminée lorsque m 
croît indéfiniment, et la somme 
Q “i- ■ ^ ■ 
£ mU rsus 
r = 1 * 
étant composée de deux parties dont aucune ne tend vers une 
limite déterminée et finie, nous ne pouvons rien affirmer a priori 
de la limite de cette somme : elle peut très-bien être finie et dé¬ 
terminée. 
Concluons donc que le principe de la condensation des singu¬ 
larités ne repose sur aucun fondement, et que l’existence de fonc¬ 
tions toujours continues, n’ayant point de dérivée déterminée 
pour une infinité de valeurs de la variable qui se succèdent sans 
intervalle assignable, reste encore à démontrer. 
7. L’application de notre critique générale à chacun des exem¬ 
ples proposés par M. Hankel se fait sans difficulté. Pour ne consi¬ 
dérer que le plus simple, le troisième, prenons 
/» = 
(sin nx7r) 
n s 
2 
O 
La fonction f(x) est certainement réelle, finie et continue pour 
toute valeur de x. Or, si l’on applique la théorie de M. Hankel, la 
la fonction o{y) ayant sa dérivée infinie pour y— 0, on en con¬ 
clura avec lui 
1° Que pour toute valeur incommensurable de x la fonction a 
une dérivée déterminée 
(') • 
m=— 2 
cos nx7v 
y > 
m=i ft* — i (sinnÆ;r ) 3 
2° Que pour toute valeur commensurable de la variable, le 
rapport 
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f (X-*-£) —fix) 
=q-+-ît*2 i 
h’ 
r=l £3 (ril) S 3 
sm 
S — 1 
