SECONDE PARTIE. 
EXISTENCE DE LA DERIVEE DANS LES FONCTIONS CONTINUES 
DUNE SEULE VARIABLE. 
8. Après avoir démontré l'inanité des objections présentées 
par M. Hankel contre l’existence générale de la dérivée dans les 
fonctions continues, essayons de procéder directement à la dé¬ 
monstration de cette propriété, base du calcul infinitésimal. Nous 
définirons d’abord nettement les fonctions sur lesquelles portera 
notre investigation. 
La fonction y = f(x) que nous considérons est supposée, entre 
deux valeurs données A et B de la variable, constamment réelle, 
finie , déterminée, et variant avec x d’une manière continue. De 
plus, elle esta détermination simple , c’est-à-dire qu’elle n’admet 
pour chaque valeur de x qu’une valeur unique : on sait que le cas 
d’une fonction à détermination multiple se ramène facilement à 
celui-là. Si la définition analytique de la fonction conduit, pour 
quelque valeur particulière « de x , à une forme indéterminée 
telle que J, 0. co , etc., nous attribuerons à la fonction , pour cette 
valeur dex, la valeur-limite dont elle s’approche indéfiniment, 
si toutefois il en existe une. Ainsi la fonction y =x îog. x, pour 
x = 0, aura une valeur nulle; la fonction y — x sin^. sera nulle 
aussi pour x = 0, etc.; mais toujours ces valeurs-limites, comme 
les autres, seront supposées satisfaire à la loi de continuité, 
