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c’est-à-dire différer infiniment peu des valeurs que la fonction 
comporte pour les valeurs de x infiniment voisines de a, de part 
et d'autre (*). 
Nous ne considérerons jamais la fonction f\x) que dans l’inter¬ 
valle (A, B) des valeurs de x où elle jouit des propriétés que 
nous venons de définir, et nous établirons d’abord quelques 
conséquences qui découlent immédiatement de la continuité de 
cette fonction. 
9. Théorème. — Si, à partir d’une valeur quelconque x de la 
variable comprise dans Vintervalle (A, B) , on donne à cette 
variable un accroissement h(**), Vaccroissement correspondant 
f (x -t-h)—f(x) de la fonction finira, en général, par rester 
constamment de même signe lorsque h tendra indéfiniment vers 
la limite zéro. 
Cela signifie que, pour certaines valeurs de x, la différence 
f(x -+- h) — f(x) pourra bien passer indéfiniment par des valeurs 
alternativement positives et négatives lorsque h convergera vers 
zéro, de sorte que f\x -4- h) s’approchera de sa limite f(x) en 
oscillant indéfiniment au-dessus et au-dessous de cette limite; 
mais cette circonstance ne pourra se réaliser que pour des va¬ 
leurs isolées de la variable, séparées les unes des autres par des 
intervalles déterminés. Elle ne pourra subsister pour toutes les 
valeurs de x comprises entre deux limites données, quelque 
voisines qu’elles soient; ni pour des valeurs discontinues de x 
(*) La distinction que pose M. Lamarle, entre les valeurs effectives que la 
fonction peut atteindre, et les valeurs limites dont elle ne peut qu’approcher 
indéfiniment, ne nous semble avoir aucune importance au point de vue de la 
question actuelle. On peut citer une infinité de cas où la dérivée ne cesse pas 
d’être finie et déterminée, même pour des valeurs de x qui correspondent à 
ces valeurs limites. D’autre part, il semblerait que les fonctions représentées 
par des séries convergentes n’admettent d’autres valeurs que des valeurs 
limites, et doivent être exclues de la théorie. Si, au contraire, on les y admet, il 
ne sera pas impossible de former, par le moyen des séries trigonometriques,des 
fonctions continues présentant le même caractère que la fonction x sin - dans 
le voisinage de la valeur zéro de la variable. 
(**) Cet accroissement h sera toujours regardé comme positif dans tout ce 
qui suit. 
