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telles qu'entre deux consécutives il n’existe aucun intervalle assi¬ 
gnable : par exemple, pour toutes les valeurs incommensurables 
de x comprises dans le plus petit intervalle donné. 
Admettons, d’abord, que pour toutes les valeurs de x, depuis 
une valeur x 0 jusqu’à une autre valeur X, l'accroissement 
/‘(x ■+• h) —/(x) de la fonction change indéfiniment de signe 
lorsque h tend vers la limite zéro. Concevons que la variable 
passe de la valeur x, à une valeur x n < X par une succession 
d’accroissements positifs /*„, /?,, ... h n _ l5 supposés aussi petits 
qu’on le veut, et choisis de telle manière que, pour chacune des 
valeurs correspondantes x 0 , x 15 ... x„_ ^ de la variable, l'accrois¬ 
sement 
h — f (Xi -r- ht) — f{Xi) 
de la fonction f(x) soit positif. On aura donc 
f {xn) — A^o) = ^’o + + A’„_ 1 0, 
et comme les accroissements /?, peuvent décroître autant qu’on le 
veut, il est permis évidemment d’admettre que la valeur finale x„ 
diffère de X d’une quantité moindre que toute quantité donnée. 
A cause de la continuité de la fonction /(x), f(x n ) différera donc 
de /(X) d’une quantité aussi petite que l’on voudra, et la relation 
précédente entraînera celle-ci : 
f(X)~f(x 0 )>°. 
Mais, d’un autre côté, on peut concevoir également que l'on 
passe de la valeur x 0 à la valeur X, ou à une valeur aussi peu 
différente qu’on le veut de X, par une succession d’accroisse- 
’ ments h t tellement choisis, que les accroissements correspondants 
A de la fonction soient constamment négatifs, et un raisonnement 
tout à fait semblable au précédent conduira à l’inégalité 
AX)-A*o)<o. 
Celle-ci étant contradictoire avec la précédente, il est clair que 
l’hypothèse d’où nous sommes partis était absurde. 
