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10. Si, au lieu de se réaliser d'une manière continue pour 
toutes les valeurs de la variable de x 0 à X, la propriété attribuée à 
la fonction f(x-hh) — f{x\ de changer indéfiniment désigné lorsque 
h tend vers zéro, subsistait seulement pour des valeurs discon¬ 
tinues, se succédant sans intervalle assignable, la démonstration 
se ferait de la même manière. Car, si Ton considère une valeur 
quelconque x t - de la variable, on pourra toujours trouver, entre 
_ j et Xi, une valeur x t — Ç de la variable pour laquelle la fonc¬ 
tion f(x) jouisse de la propriété énoncée, et qui diffère assez peu 
de x { pour que la différence entre f(x { —Ç) et f{Xi) tombe au- 
dessous de toute grandeur donnée : en sorte que la différence 
f[Xi — £) — f(x i _ l ) sera de même signe que /’( x { )—/■(*,_,). 
Il suit évidemment de là que Ton peut procéder de la valeur x 0 , 
qui est supposée jouir de la propriété énoncée, jusqu’à la valeur X 
ou jusqu’à une valeur aussi peu différente qu’on le veut de X, par 
une suite d’accroissements h { qu’il est permis de supposer plus 
petits que toute quantité donnée, et qui satisfont à la double 
condition : 1° que toutes les valeurs successives par lesquelles 
passe la variable, x 0 , x { , x 2 ,..., soient de celles pour lesquelles 
la fonction f(x) jouit de la propriété supposée; 2° que, par con¬ 
séquent, les accroissements correspondants k 0i k { , Ar 2 ..... de cette 
fonction puissent être supposés à volonté, ou tous positifs, ou 
tous négatifs, ce qui ramène à la même conclusion que ci-dessus. 
11. On peut objecter, à la démonstration précédente, ce qui 
suit : quand nous disons que la différence f{x-+- h) — f(x) 
change de signe indéfiniment lorsque h converge vers zéro, cela 
signifie que, si petite que soit la valeur de h pour laquelle la fonc¬ 
tion f( x h) — f(x) a un signe déterminé, le signe -+- par exem¬ 
ple, il existe toujours une infinité de valeurs plus petites pour 
lesquelles cette même fonction est affectée du signe contraire, ou 
négatif. Soit h' la plus grande de ces dernières valeurs. Cette 
quantité h' ne peut jamais être nulle pour aucune des valeurs de x 
auxquelles s’applique l’hypothèse, mais elle peut décroître indé¬ 
finiment à mesure que la variable x se rapproche d’une certaine 
limite x\ comprise entre x 0 et X; et il semble, dans ce cas, qu'il 
soit impossible de passer de la valeur x 0 à la valeur X, comme 
