( 21 ) 
nous l’avons supposé plus haut, par une succession d’accroisse¬ 
ments hi satisfaisant à la condition que les accroissements soient 
constamment négatifs. 
Or, sans qu'il soit besoin de compléter la démonstration sur ce 
point, il est visible que Ton peut au moins approcher indéfini¬ 
ment de cette valeur particulière x' par une suite d’accroisse¬ 
ments hi pour lesquels f(x-hh )— f(x) soit négatif: il suffira 
donc de substituer la valeur x' à la valeur X, dans tous les rai¬ 
sonnements que nous avons faits ci-dessus, pour manifester l’im¬ 
possibilité de l’hypothèse où nous nous étions placés. 
Si l’on en excepte donc des valeurs isolées et exceptionnelles de 
la variable x, la différence f(x 4 - h) — f(x) finit, lorsque h tend 
vers la limite zéro, par garder constamment un même signe (*) : 
c’est ce que nous appellerons le signe définitif de l’accroissement 
A' ou f[x-hh) — /(x). 
42. Théorème. — Le signe définitif de Vaccroissement 
f(x-i-h) — f(x) reste constamment le même pour toutes les 
valeurs de x comprises dans un intervalle déterminé. 
C’est-à-dire que, si l'on exclut les valeurs singulières de x 
pour lesquelles f[x-\-h) — /'(x) n’a point de signe définitif,il est 
impossible que les valeurs de x pour lesquelles le signe définitif 
est différent, se succèdent sans intervalle assignable. 
En effet, si l’on admet qu'il en soit ainsi dans l’intervalle 
(*^0 J X), et que pour x = x 0 le signe définitif de h soit, par 
exemple, positif; on démontrera par un raisonnement sem¬ 
blable aux précédents que l’on peut passer de x 0 à X par une 
suite de valeurs x 0 , x 0 x 2 ,..., x„ de la variable, pour lesquelles 
f(x 4- h) —/'(x) soit positif; et, par suite, /(X) — /(x 0 ) sera posi¬ 
tif. D’autre part, si la variable x part d’une valeur aussi voisine 
qu’on le veut de x 0 , mais correspondante à un signe négatif de 
/'(x + /î) —/"(xJ, et e ^ e procède vers X par une série de 
(*) On voit que les fonctions continues « qui effectuent pour chaque valeur 
rationnelle de x une infinité d’oscillations infiniment petites » , fonctions dont 
M. Hankel donne de prétendus exemples (pp. 20 et 21 de son Mémoire), sont 
impossibles. 
I 
