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valeurs de x satisfaisant à la même condition, ce qui est évidem¬ 
ment possible en vertu de l’hypothèse, il en résultera nécessaire¬ 
ment que /*(X) — f{x, } ) sera négatif. Cette conclusion, contradic¬ 
toire avec la précédente, montre l’absurdité de l'hypothèse. 
15. De tout ce qui précède il résulte que, si une fonction 
/'(x) est continue dans un intervalle (A, B) de la variable, elle 
pourra bien, dans le voisinage de certaines valeurs de x, être 
alternativement et indéfiniment croissante et décroissante lorsque 
x convergera vers ces valeurs particulières; mais, en général, 
c’est-à-dire pour toutes les valeurs de la variable comprises dans 
un intervalle déterminé, quelque petit qu’on le suppose, l’accrois¬ 
sement /'(x + /i)—/‘(x) fonction aura constamment le 
même signe définitif. Ce qui revient à dire que l'intervalle (A, B) 
se décomposera toujours en un nombre déterminé d’intervalles, 
dans chacun desquels la fonction f[x) sera, ou constamment 
croissante, ou constamment décroissante, x étant supposé croître 
d’une manière continue. 
Nous admettrons donc, dans tout ce qui va suivre, que la fonc¬ 
tion f(x) reste constamment croissante avec x dans toute l’éten¬ 
due de l’intervalle (A, B) : on conçoit d’ailleurs que, si elle était 
constamment décroissante, les raisonnements seraient très-faciles 
à modifier. 
14. A partir d’une valeur quelconque x de la variable comprise 
entre A et B, on donne à x un accroissement infiniment petit h. 
Le rapport 
k _ f{x-\-h) — f(x) 
h ~~ h 
de l’accroissement de la fonction à celui de la variable, lorsque h 
tendra vers la limite zéro, pourra tendre vers la limite zéro, ou 
croître indéfiniment, ou osciller indéfiniment entre deux valeurs 
déterminées, sans tendre vers aucune limite fixe, ou, enfin, 
converger vers une limite déterminée, finie et différente de zéro. 
Chacune de ces hypothèses peut se réaliser pour des valeurs par¬ 
ticulières de la variable x, mais la dernière seule peut subsister 
d’une manière permanente dans toute l’étendue d'un intervalle 
