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déterminé, quelque petit qu’on le suppose. Nous allons le prouver 
en discutant successivement chacune des autres hypothèses. 
15. Théorème. — Il est impossible que le rapport i tende 
constamment vers la limite zéro, pour toutes les valeurs de x 
comprises dans un intervalle déterminé, quelque petit qu'il soit, 
ou pour des valeurs discontinues de x se succédant sans inter¬ 
valle assignable entre deux limites données. 
Supposons, d’abord, que le rapport ~ tende vers zéro pour 
toutes les valeurs de x depuis x 0 jusqu’à X, x 0 et X étant deux 
valeurs déterminées de x comprises entre A et B. La variable x 
passant de x 0 à X par une suite d’accroissements h 0 , /q,..., h n _ l , 
soient k 0 , /q,..., k n _ l les accroissements correspondants de y ou 
f[x). D’après notre hypothèse, on peut admettre que chacun des 
accroissements /q, qui seront d’ailleurs supposés aussi petits qu’on 
le voudra, soit suffisamment petit pour que le rapport corres¬ 
pondant soit compris entre zéro et une quantité positive don- 
née, e, si petite qu’on la choisisse. On aura donc, par une propriété 
connue, 
fl X) - f(æ q) 
X — x 0 
d’où 
k 0 + + ■■■ k n — I 
h 0 -h h 1 -+- • ■ • H- h n — 1 
/~(X) - f{x 0 ) 
X — x 0 
M (0, s). 
Le rapport qui figure dans le premier membre a nécessairement 
une valeur déterminée, et, puisqu'il peut être démontré moindre 
que toute grandeur donnée, H se réduit nécessairement à zéro. 
Donc, /(X) = /(x 0 ); et comme ce raisonnement subsiste pour 
deux valeurs quelconques de x comprises dans l'intervalle (x 0 , X), 
il est clair que la fonction f(x) a une valeur constante depuis 
x = Xo jusqu'à x = X, et n'est point fonction de x dans cet inter¬ 
valle. 
16. Admettons maintenant que le rapport 
f[x-+- h) — f{x) 
h 
