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tende vers la limite zéro, non plus pour toutes les valeurs de x 
comprises entre x 0 et X, mais pour des valeurs de x aussi rappro¬ 
chées qu’on le veut, remplissant tout cet intervalle. Le rapport 
ci-dessus varie évidemment d’une manière continue en même 
temps que h , aussi longtemps que h est supposé différent de zéro : 
par conséquent, si pour une certaine valeur de h ce rapport est 
compris entr e zéro et e, on pourra faire décroître h d’une quan¬ 
tité telle, que ^ varie d’une quantité inférieure à toute grandeur 
donnée, et soit encore compris entre zéro et f ; et que, d'autre 
part, x-\-h soit encore une de ces valeurs de x pour lesquelles le 
rapport-^ a pour limite zéro. Donc, partant d’une certaine valeur 
Xj de la variable qui jouit de cette propriété, on choisira les 
accroissements successifs h 0 , h n _ j de manière à détermi¬ 
ner une suite de valeurs de x satisfaisant aussi à la même condi¬ 
tion, et de manière, en outre, que les rapports 
/io h, h n — i 
soient tous compris entre zéro et n. D’ailleurs, comme ces accrois¬ 
sements h t peuvent être supposés aussi petits qu’on le veut, il est 
clair que la valeur finale x n différera aussi peu qu’on le voudra 
de X, et l’on en conclura, comme plus haut [à cause de la con¬ 
tinuité de la fonction / (x)], que /‘(X) — /"(x 0 ) = 0, et que / (x) 
a une valeur constante entre x = x 0 et x = X. 
Si la valeur h' de h au-dessous de laquelle le rapport ^ reste 
constamment plus petit que f, sans pouvoir être nulle pour aucune 
des valeurs de x que l’on considère (ce qui impliquerait contra¬ 
diction avec l’hypothèse), tendait vers zéro lorsque la variable x 
s’approche, en croissant constamment, d’une certaine limite x' 
comprise entre x 0 etX, il en résulterait pour la démonstration 
qui précède une difficulté, facile à lever, d'après les observations 
faites plus haut dans un cas semblable. 
17. Théorème. — Il est impossible que le rapport | croisse 
indéfiniment lorsque h tend vers la limite zéro, pour toutes les 
valeurs de x comprises dans un intervalle déterminé (x 0 , X), si 
